Bisher haben wir nur zeitlich fixierte Pfeile in der Ebene betrachtet. Ab jetzt lassen wir sie mit konstanter Geschwindigkeit rotieren – wodurch sie zu Zeigern werden.
Der Pfeil 
(links) und ein Zeiger, dessen Winkel linear mit der Zeit zunimmt (rechts). Der mathematisch positive Drehsinn ist gegen den Uhrzeigersinn.Als HTL-Lehrer unterrichte ich Schüler ab dem 14. Lebensjahr. Davor ist im Mathematik-Unterricht schon einiges passiert – aus meiner Sicht ist nicht alles davon zum Vorteil der Schüler.
Die Mystifizierung des °-Zeichens und daraus folgende, unnötig komplizierte Formeln für Kreisbögen etc., habe ich schon angesprochen. Ähnliches gilt für die Prozentrechnung.
Hier soll es jetzt um die Bruchrechnung – speziell die Division durch Brüche – gehen.
Weiterlesen „Division ist Multiplikation mit dem Kehrwert“In der Schule lernen wir reelle Zahlen als Dezimalzahlen mit indo-arabischen Ziffern zu schreiben. Z.B. fünfhundertsiebenundzwanzig-einhalb schreiben wir als
Für negative Zahlen setzen wir noch einen kleinen Querstrich (ein Minus) vor die Zahl, z.B. minus siebenhundertsechsunddreißig-einachtel:
Dezimalzahlen sind Zeichenketten aus den möglichen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, einem Dezimalkomma ».« (oder »,«), und einem eventuellen Vorzeichen (+/-). Diese Zeichenketten können unendlich lang werden (und müssen es für die meisten Zahlen auch sein).
Im 1. Teil über komplexe Zahlen haben wir gesehen, dass man reelle Zahlen aber auch als Pfeile entlang einer Geraden zeichnen kann (s. Abb. 1) – jeder Dezimalzahl entspricht dabei genau ein Pfeil und umgekehrt.
Was also sind die reellen Zahlen nun wirklich?
Weiterlesen „Was sind reelle Zahlen?“In der Schule misst man Winkel üblicherweise in Grad (°). Aber warum entspricht eine volle Umdrehung eigentlich 360°? Mit Sicherheit kann das heute niemand mehr sagen. Man weiß nur, dass schon die antiken Astronomen damit gearbeitet haben. Möglicherweise liegt es daran, dass 360 ungefähr gleich der Anzahl der Tage in einem Jahr ist und viele Teiler hat. Jedenfalls ist es eine völlig willkürliche Festlegung. Ebenso willkürlich war die Festlegung auf 400 gon nach der Französischen Revolution.
Weiterlesen „Winkel und ihre Messung“In Teil 1 und Teil 4 haben wir verschiedene geometrische Darstellungen von komplexen Zahlen kennengelernt und auch, wie man damit Rechnungen »konstruktiv« durchführen kann.
In Teil 3 haben wir uns mit den verschiedene algebraische Darstellungen beschäftigt. Jetzt ist es an der Zeit mit den komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung schriftlich zu rechnen.
Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 5 – Rechnen in kartesischer Darstellung“In Teil 1 haben wir eine möglich geometrische Darstellung von reellen Zahlen als Pfeile entlang der reellen Achse gesehen. Diese ließ sich auf Pfeile in der Ebene erweitern und führte so zu den komplexen Zahlen.
Diese Pfeile passen gut zur kartesischen Darstellung aus Teil 3. Dort haben wir auch die Polardarstellung kenngelernt, die in gewissem Sinn zur kartesischen »komplementär« ist. Hier werden wir uns die entsprechende geometrische Darstellung überlegen.
Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 4 – eine alternative geometrische Darstellung“
In Teil 1 haben wir komplexe Zahlen als Pfeile in der Ebene kennengelernt. Mit Hilfe geometrischer Konstruktionen konnten wir mit diesen Pfeilen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Zum praktischen Rechnen benötigen wir jetzt eine algebraische Darstellung mit entsprechenden Rechenregeln. Leider gibt es mehrere solche Darstellungen …
Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 3 – die verwirrende Vielfalt algebraischer Darstellungen“
Im 1. Teil haben wir gesehen, dass die Multiplikation komplexer Zahlen eine Drehstreckung der entsprechenden Pfeile ist. Wie Abb. 1 zeigt, wird aus der Drehstreckung eine einfache Drehung, wenn einer der Pfeile die Länge 1 hat.
hat die Länge 1 und den Winkel zur positiven reellen Achse (links). Multipliziert man einen beliebigen Pfeil 
mit , wird einfach um den Winkel gedreht (rechts).Das haben wir schon bei der Multiplikation des Pfeils 
(2023-11-03: eine etwas andere Einführung mit Wechselströmen gibt es als Video hier auf Deutsch und hier auf Englisch.)
Dieser Post ist eine überarbeitete Version meines Beitrags auf Astrodicticum simplex.
Zahlen sind generell etwas sehr Abstraktes. Es gibt z.B. nichts Konkretes worauf man zeigen und sagen könnte, das ist die Zahl drei. Es sind immer entweder drei Menschen, drei Kühe, drei Autos … Entsprechend gibt es für die Zahl drei die verschiedensten konkreten Darstellungen, z.B. 3 oder III.
Ausgehend von unseren Vorstellungen über reelle Zahlen, werden wir im Folgenden zunächst eine geometrische Darstellung der reellen Zahlen betrachten und die bekannten Rechenoperationen geometrisch konstruieren. Diese Darstellung und Konstruktionen können wir dann »leicht« zur Darstellung einer neuen Menge von Zahlen erweitern – den komplexen Zahlen.
Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 1 – eine geometrische Einführung“
Im letzten Teil haben wir gesehen, dass Objekte Licht in unterschiedlichem Ausmaß durchlassen können. Im Folgenden werden wir uns nur mit Absorption beschäftigen. Abb. 1 zeigt unsere bereits aus Teil 1 bekannten Objekte, allerdings mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten. Zusätzlich ist der Kreis jetzt ein innen hohler Kreisring. Die Detektorpixel sind jetzt nicht mehr nur schwarz/weiß, sondern zeigen auch Helligkeiten dazwischen.
Herr Fessa 