Wurzel-n-Gesetz – Herr Fessa

Der radioaktive Zerfall eines Atomkerns ist ein völlig zufälliger Prozess. Wir können nicht vorhersagen, wann ein bestimmter Kern zerfallen wird. Daher wissen wir auch nicht genau, wann noch wie viele Kerne nicht zerfallen sind.

Andererseits hat fast jeder in der Oberstufe das radioaktive Zerfallsgesetz

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$

kennengelernt. Dabei ist $N_0$ die Zahl der zu Beginn vorhandenen Kerne, $N(t)$ die Anzahl der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne und $\lambda>0$ ist die Zerfallskonstante des Materials. Das ist ein exakter funktionaler Zusammenhang.

Wie kann ein völlig zufälliger Vorgang zu einem exakten Gesetz führen?

Angenommen, man hat eine Messgröße, die man durch eine Zufallsvariable $X$ modellieren kann. Der Erwartungswert von $X$ sei $\mu$ und die Standardabweichung sei $\sigma$ .

Misst man diese Messgröße mehrfach, wird man voraussichtlich verschiedene Werte erhalten, deren Streuung durch die Verteilung von $X$ modelliert wird.

Berechnet man den Mittelwert $\bar{x}$ dieser $n$ Messungen, kann man ihn durch die Zufallsvariable $\overline{X}$ modellieren. Wenn die Messungen alle voneinander unabhängig waren, gilt für den Erwartungswert des Mittelwertes

$\mathscr{E}(\overline{X}) = \mathscr{E}(X) = \mu$

und für die Standardabweichung (»Standardfehler«) des Mittelwertes

$\displaystyle\mathscr{S}(\overline{X}) = \frac{\mathscr{S}(X)}{\sqrt{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,.$

Diese Formeln gelten unabhängig von der konkreten Verteilung von $X$ ; die zweite wird oft auch als »Wurzel-n-Gesetz« bezeichnet.

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Schlagwort: Wurzel-n-Gesetz

Wahrscheinlichkeit und radioaktiver Zerfall

Wozu Mittelwerte?