Fourier-Koeffizient – Herr Fessa

Fourier-Reihen, Teil 9 – komplexe Signale und Kurven in der Ebene

In den bisherigen Teilen haben wir uns mit der Fourier-Analyse reeller Signale beschäftigt. Dabei haben wir rotierende Zeiger unterschiedlicher Frequenzen addiert und die Projektion des Summenzeigers ergab unser zeitabhängiges Signal (s. Teil 1).

Der Summenzeiger hat dabei recht komplizierte Kurven in der komplexen Ebene beschrieben (s. speziell Teil 2). In diesem Teil stellen wir nun die Frage, wie wir geschlossene, ebene Kurven in eine Summe von rotierenden Zeigern verwandeln können.

Einfache Beispiele für solche Kurven sind Lissajous-Figuren wie in Abb. 1 gezeigt. Wir betrachten dabei die Bahnkurve eines Punktes, dessen x– und y-Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen der Zeit t sind. Wenn der Quotient der beiden Frequenzen rational ist, sind die Bahnen geschlossen – und damit periodisch.

Abb. 1: Bahn eines Punktes, dessen x– und y-Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen sind. Speziell ist $f'=0.2\,\text{Hz}$ und $f''=0.4\,\text{Hz}$ , was eine Periodendauer von $T=5\,\text{s}$ bedeutet.

Abb. 1: Bahn eines Punktes, dessen x– und y-Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen sind. Speziell ist $f'=0.2\,\text{Hz}$ und $f''=0.4\,\text{Hz}$ , was eine Periodendauer von $T=5\,\text{s}$ bedeutet.

Fourier-Reihen, Teil 8 – von der Reihe zur Fourier-Transformation

Periodische Signale s können wir in ihre einzelnen Frequenzanteile zerlegen und damit in eine Fourier-Reihe entwickeln. Wie wir in Teil 3 gesehen haben, erhalten wir das Transformations-Paar

$\displaystyle s(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\quad\text{und}\quad\underline{S}_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}s(t)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t}\,\mathrm{d}t$ ,

wobei T die Periodendauer des Signals ist. Von den komplexe Fourier-Koeffizienten $\underline{S}_k$ gibt es abzählbar unendlich viele, jeweils beim k-fachen der Grundkreisfrequenz $\omega_1=\tau/T$ (es gilt $\tau=2\pi$ ). Für rein reelle Signale brauchen wir die Koeffizienten nur für $k\geq0$ berechnen, weil $\underline{S}_{-k}=\underline{S}_k^*$ ist.

In diesem Teil soll es nun speziell um die nicht-periodischen Signale gehen. Wir werden sehen, dass es da auch so ein Transformations-Paar gibt. Abzählbar unendlich viele Koeffizienten reichen dafür aber nicht mehr aus.

Fourier-Reihen, Teil 7 – wie Signale in Frequenzen zerlegt werden

Wenn wir ein Signal in eine Fourier-Reihe »entwickeln«, müssen wir herausfinden, welche Frequenzen in diesem Signal stecken. Die Formeln dazu haben wir schon in Teil 3 gesehen. Aber warum funktioniert das – speziell bei gemessenen Signalen – wirklich?

Fourier-Reihen, Teil 6 – Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

In Teil 3 haben wir gesehen, dass wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Summe rotierender Zeiger

$\displaystyle s(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1 t}$

schreiben können (zumindest wenn s »schön« ist). Dabei ist die Grundfrequenz $f_1 = 1/T$ und die Grundkreisfrequenz $\omega_1 = \tau/T$ mit $\tau = 2\pi$ .

Wir haben auch gesehen, dass wir die Fourier-Koeffizienten $\underline{S}_k$ über die Mittelwerte

$\displaystyle\underline{S}_k = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t$

erhalten. Dabei müssen wir über eine ganze Periode integrieren, egal wo wir anfangen: 0 bis T, $-T/2$ bis $+T/2$ , $-T/4$ bis $+3T/4$ , …

Wenn wir den Verlauf des Signals s tatsächlich als mathematischen Funktionsterm kennen, sind diese Integrale prinzipiell berechenbar – auch wenn es manchmal kompliziert werden kann. Aber was, wenn wir den Funktionsterm des Signals nicht kennen, z.B. weil wir es gemessen haben? – In beiden Fällen können wir die Integrale zumindest näherungsweise numerisch berechnen.

Fourier-Reihen, Teil 3 – Die Berechnung des Spektrums

In den ersten beiden Teilen (Teil 1 und Teil 2) haben wir rotierende Zeiger addiert, deren Frequenzen jeweils ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers waren. Die Projektion des Summenzeigers führt zu einer periodischen Funktion, mit einer Periodendauer, die gleich der Periode des langsamsten Zeigers ist.

Jetzt drehen wir die Sache um: Wir haben eine reelle, periodische Funktion s (das Signal; um nicht wieder f für die Funktion und die Frequenz zu verwenden), deren Periodendauer gleich T ist. Entsprechend ist ihre Grundfrequenz $f_1 = 1/T$ und die Grundkreisfrequenz $\omega_1 = \tau \cdot f_1 = \tau / T$ . (Als Tauist verwende ich wie immer die Kreiskonstante $\tau = 2\pi$ .) Dieses Signal s wollen wir als die Projektion der Summe rotierender Zeiger

$\displaystyle s(t) = \Im\left(\sum_{k=0}^\infty\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1 t}\right) = \sum_{k=0}^\infty\Im\left(\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1 t}\right)$

schreiben.

Wie kommen wir nun zu den komplexen Amplituden $\underline{A}_k$ ?