Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums

Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:

\displaystyle s(t) = \Im\left(\sum_{k=0}^\infty \underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right) = \sum_{k=0}^\infty \Im\left(\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right) ,

wobei \omega_1 = \tau/T = 2\pi/T die Grundkreisfrequenz ist. Für die komplexen Amplituden haben wir

\underline{A}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k = 0 \text{ ist}\\[3ex] \displaystyle \frac{2\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k > 0 \text{ ist}\end{cases}

erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.

Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.

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Fourier-Reihen, Teil 2 – Das Spektrum

In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Projektion der Summe rotierender Zeiger eine periodische Funktion ergeben kann, wenn die Frequenzen der einzelnen Zeiger ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers sind.

In diesem Beitrag werden wir ein paar weitere Beispiele sehen und uns die komplexen Amplituden \underline{A}_k der einzelnen Zeiger genauer ansehen. Die Menge dieser \underline{A}_k einer Funktion f ist das Spektrum von f.

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