Periodendauer – Herr Fessa

Komplexe Zahlen, Teil 8 – räumliche Schwingungen und Wellen

In Teil 6 der komplexen Zahlen und den bisherigen Teilen zur Fourier-Reihe haben wir uns mit zeitabhängigen Sinus-Funktionen, also zeitlichen Schwingungen, beschäftigt. In diesem Teil soll es um räumliche Schwingungen gehen – in einer und mehr Dimensionen. Den Abschluss bilden dann harmonische Wellen, also Schwingungen, die sich mit der Zeit im Raum ausbreiten.

Abb. 1 zeigt noch einmal eine sinusförmige Schwingung in der Zeit. Wir können sie uns als die Projektion eines rotierenden Zeigers vorstellen, dessen Winkel von der Zeit t abhängt.

Abb. 1: eine sinusförmige Schwingung in der Zeit.

Räumliche Schwingungen in 1D

Wir könnten uns aber auch vorstellen, dass der Winkel des Zeigers nicht von der Zeit t, sondern vom Ort x abhängt. Wie Abb. 2 zeigt, ergibt die Projektion dann eine Sinus-Funktion entlang der x-Achse.

Abb. 2: eine sinusförmige Schwingung entlang der x-Achse.

Fourier-Reihen, Teil 8 – von der Reihe zur Fourier-Transformation

Periodische Signale s können wir in ihre einzelnen Frequenzanteile zerlegen und damit in eine Fourier-Reihe entwickeln. Wie wir in Teil 3 gesehen haben, erhalten wir das Transformations-Paar

$\displaystyle s(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\quad\text{und}\quad\underline{S}_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}s(t)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t}\,\mathrm{d}t$ ,

wobei T die Periodendauer des Signals ist. Von den komplexe Fourier-Koeffizienten $\underline{S}_k$ gibt es abzählbar unendlich viele, jeweils beim k-fachen der Grundkreisfrequenz $\omega_1=\tau/T$ (es gilt $\tau=2\pi$ ). Für rein reelle Signale brauchen wir die Koeffizienten nur für $k\geq0$ berechnen, weil $\underline{S}_{-k}=\underline{S}_k^*$ ist.

In diesem Teil soll es nun speziell um die nicht-periodischen Signale gehen. Wir werden sehen, dass es da auch so ein Transformations-Paar gibt. Abzählbar unendlich viele Koeffizienten reichen dafür aber nicht mehr aus.

Fourier-Reihen, Teil 5 – Schwebungen

In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Addition von Sinussignalen unterschiedlicher Frequenzen wieder ein periodisches Signal ergibt, wenn alle Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz $f_1$ sind. Die Periodendauer des Summensignals ist dann $T = 1/f_1$ . In diesem Teil beschäftigen wir uns mit Frequenzen, die nicht mehr ganzzahlige Vielfache voneinander sind.

Komplexe Zahlen, Teil 6b – die allgemeine Sinus-Funktion

Im letzten Teil haben wir gesehen, wie rotierende Zeiger mit der Sinus-Funktion zusammenhängen. Wir konnten die Kreisfrequenz $\omega$ , die Amplitude $A$ , die Phase $\varphi$ oder den Mittelwert $m$ vorgeben.

Oder wir geben alle vier Parameter gleichzeitig vor, was uns zur allgemeinen Sinus-Funktion

$\Im\left(\underline{A}e^{\underline{i}\omega t} + m\underline{i}\right) = \Im\left(A e^{\underline{i} (\omega t + \varphi)} + m\underline{i}\right) = A\sin(\omega t + \varphi) + m$

führt. Ein Beispiel dafür zeigt Abb. 1.

ZeigerAllgSin — Abb. 1: allgemeine Sinus-Funktion mit Amplitude $A = 2$ , Kreisfrequenz $\omega$ , Phase $\varphi = \tau/8 = 45^\circ$ und Mittelwert $m = 1$ .

Abb. 1: allgemeine Sinus-Funktion mit Amplitude $A = 2$ , Kreisfrequenz $\omega$ , Phase $\varphi = \tau/8 = 45^\circ$ und Mittelwert $m = 1$ .

Komplexe Zahlen, Teil 6 – rotierende Pfeile (Zeiger) und trigonometrische Funktionen

Bisher haben wir nur zeitlich fixierte Pfeile in der Ebene betrachtet. Ab jetzt lassen wir sie mit konstanter Geschwindigkeit rotieren – wodurch sie zu Zeigern werden.

Der Pfeil $e^{\underline{i}\,\alpha}$ hatte die Länge (den Betrag) 1 und den Winkel $\alpha$ gegen die reelle Achse $\Re$ (s. Abb. 1). Wenn der Winkel $\alpha$ linear mit der Zeit $t$ zunimmt, kann man ihn als zeitlich veränderlichen Bruchteil der vollen Umdrehung $\tau = 2\pi$ auffassen: