Analysis – Herr Fessa

Fourier-Reihen, Teil 9 – komplexe Signale und Kurven in der Ebene

In den bisherigen Teilen haben wir uns mit der Fourier-Analyse reeller Signale beschäftigt. Dabei haben wir rotierende Zeiger unterschiedlicher Frequenzen addiert und die Projektion des Summenzeigers ergab unser zeitabhängiges Signal (s. Teil 1).

Der Summenzeiger hat dabei recht komplizierte Kurven in der komplexen Ebene beschrieben (s. speziell Teil 2). In diesem Teil stellen wir nun die Frage, wie wir geschlossene, ebene Kurven in eine Summe von rotierenden Zeigern verwandeln können.

Einfache Beispiele für solche Kurven sind Lissajous-Figuren wie in Abb. 1 gezeigt. Wir betrachten dabei die Bahnkurve eines Punktes, dessen x– und y-Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen der Zeit t sind. Wenn der Quotient der beiden Frequenzen rational ist, sind die Bahnen geschlossen – und damit periodisch.

Abb. 1: Bahn eines Punktes, dessen x– und y-Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen sind. Speziell ist $f'=0.2\,\text{Hz}$ und $f''=0.4\,\text{Hz}$ , was eine Periodendauer von $T=5\,\text{s}$ bedeutet.

Abb. 1: Bahn eines Punktes, dessen x– und y-Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen sind. Speziell ist $f'=0.2\,\text{Hz}$ und $f''=0.4\,\text{Hz}$ , was eine Periodendauer von $T=5\,\text{s}$ bedeutet.

Fourier-Reihen, Teil 8 – von der Reihe zur Fourier-Transformation

Periodische Signale s können wir in ihre einzelnen Frequenzanteile zerlegen und damit in eine Fourier-Reihe entwickeln. Wie wir in Teil 3 gesehen haben, erhalten wir das Transformations-Paar

$\displaystyle s(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\quad\text{und}\quad\underline{S}_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}s(t)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t}\,\mathrm{d}t$ ,

wobei T die Periodendauer des Signals ist. Von den komplexe Fourier-Koeffizienten $\underline{S}_k$ gibt es abzählbar unendlich viele, jeweils beim k-fachen der Grundkreisfrequenz $\omega_1=\tau/T$ (es gilt $\tau=2\pi$ ). Für rein reelle Signale brauchen wir die Koeffizienten nur für $k\geq0$ berechnen, weil $\underline{S}_{-k}=\underline{S}_k^*$ ist.

In diesem Teil soll es nun speziell um die nicht-periodischen Signale gehen. Wir werden sehen, dass es da auch so ein Transformations-Paar gibt. Abzählbar unendlich viele Koeffizienten reichen dafür aber nicht mehr aus.

Fourier-Reihen, Teil 7 – wie Signale in Frequenzen zerlegt werden

Wenn wir ein Signal in eine Fourier-Reihe »entwickeln«, müssen wir herausfinden, welche Frequenzen in diesem Signal stecken. Die Formeln dazu haben wir schon in Teil 3 gesehen. Aber warum funktioniert das – speziell bei gemessenen Signalen – wirklich?

Fourier-Reihen, Teil 6b – DFT gemessener Signale

Im letzten Teil haben wir die Fourier-Koeffizienten eines Signals s numerisch berechnet, unter der Voraussetzung, die Periodendauer des Signals zu kennen.

Wenn wir ein Signal messen, kennen wir dessen Periodendauer normalerweise nicht. Wir messen einfach während der Messdauer $T_m$ mit der Sampling-Frequenz (Abtastrate) $f_s$ die momentanen Werte $s(t)$ . Wie beeinflusst das die Fourier-Koeffizienten?

Abb. 1 zeigt nochmals unser Signal

$s(t) = -1 + 3\sin(2\pi \cdot 0.5\,\text{Hz} \cdot t + \pi) + 2\sin(5 \cdot 2\pi \cdot 0.5\,\text{Hz} \cdot t - \tfrac{\pi}{2})$

aus dem letzten Teil.

sampled_meas_sig — Abb. 1: Das Signal aus Teil 6. Innerhalb der Messdauer von 3.5 s ist das Signal dicker gezeichnet. Der hellblaue Verlauf ist die tatsächliche Periodizität, der hellrote Verlauf die scheinbare Periodizität. Die roten Punkte sind die 32 Messwerte.

Fourier-Reihen, Teil 6 – Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

In Teil 3 haben wir gesehen, dass wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Summe rotierender Zeiger

$\displaystyle s(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1 t}$

schreiben können (zumindest wenn s »schön« ist). Dabei ist die Grundfrequenz $f_1 = 1/T$ und die Grundkreisfrequenz $\omega_1 = \tau/T$ mit $\tau = 2\pi$ .

Wir haben auch gesehen, dass wir die Fourier-Koeffizienten $\underline{S}_k$ über die Mittelwerte

$\displaystyle\underline{S}_k = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t$

erhalten. Dabei müssen wir über eine ganze Periode integrieren, egal wo wir anfangen: 0 bis T, $-T/2$ bis $+T/2$ , $-T/4$ bis $+3T/4$ , …

Wenn wir den Verlauf des Signals s tatsächlich als mathematischen Funktionsterm kennen, sind diese Integrale prinzipiell berechenbar – auch wenn es manchmal kompliziert werden kann. Aber was, wenn wir den Funktionsterm des Signals nicht kennen, z.B. weil wir es gemessen haben? – In beiden Fällen können wir die Integrale zumindest näherungsweise numerisch berechnen.

Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums

Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:

$\displaystyle s(t) = \Im\left(\sum_{k=0}^\infty \underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right) = \sum_{k=0}^\infty \Im\left(\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right)$ ,

wobei $\omega_1 = \tau/T = 2\pi/T$ die Grundkreisfrequenz ist. Für die komplexen Amplituden haben wir

$\underline{A}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k = 0 \text{ ist}\\[3ex] \displaystyle \frac{2\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k > 0 \text{ ist}\end{cases}$

erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.

Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.

Was sind reelle Zahlen?

Zeichenketten und Pfeile

In der Schule lernen wir reelle Zahlen als Dezimalzahlen mit indo-arabischen Ziffern zu schreiben. Z.B. fünfhundertsiebenundzwanzig-einhalb schreiben wir als

$527.5$ .

Für negative Zahlen setzen wir noch einen kleinen Querstrich (ein Minus) vor die Zahl, z.B. minus siebenhundertsechsunddreißig-einachtel:

$-736.125$ .

Dezimalzahlen sind Zeichenketten aus den möglichen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, einem Dezimalkomma ».« (oder »,«), und einem eventuellen Vorzeichen (+/-). Diese Zeichenketten können unendlich lang werden (und müssen es für die meisten Zahlen auch sein).

Im 1. Teil über komplexe Zahlen haben wir gesehen, dass man reelle Zahlen aber auch als Pfeile entlang einer Geraden zeichnen kann (s. Abb. 1) – jeder Dezimalzahl entspricht dabei genau ein Pfeil und umgekehrt.

reell_4_3 — Abb. 1: Dieselbe reelle Zahl einmal als Dezimalzahl geschrieben (links) und einmal als Pfeil entlang der reellen Achse gezeichnet (rechts).

Was also sind die reellen Zahlen nun wirklich?