Vor einger Zeit haben wir diskutiert, dass ein Kondensator und ein Widerstand ziemlich gut differenzieren/ableiten können. In diesem Beitrag werden wir sehen, dass das auch fürs Integrieren gilt.
Weiterlesen „Warum ein Kondensator und ein Widerstand auch besser integrieren können“Kategorie: Analysis
Warum ein Kondensator und ein Widerstand besser differenzieren können als die meisten Leute
In Physik und Technik hängen viele Größen davon ab, wie schnell sich andere ändern. Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts, die Beschleunigung ist die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit, die Kraft ist die örtliche Änderungsrate der potentiellen Energie … Wenn wir diese Größen als Funktionen aufzeichnen, sehen wir die Änderungsrate als Steigung des Graphen.
Mathematisch fassen wir den Begriff der Änderungsrate über den Differentialquotienten, indem wir eine Funktion ableiten bzw. differenzieren:
.
Rein prinzipiell könnten wir eine riesige Tabelle erstellen, wo für jede Funktion ihre Ableitung drinnen steht. Spätestens bei ,
,
… beginnt man an dieser Idee zu zweifeln. Stattdessen haben wir z.B. die allgemeine Regel, dass für jede differenzierbare Funktion f und jede Konstante k gilt:
. Diese und weitere Regeln sind die Ableitungsregeln, die wir in richtiger Reihenfolge anwenden müssen. Bzw. müssten – denn oft schleichen sich hier Fehler ein.
Interessanterweise schaffen ein Kondensator und ein Widerstand das quasi nebenbei.
Weiterlesen „Warum ein Kondensator und ein Widerstand besser differenzieren können als die meisten Leute“Wahrscheinlichkeit und radioaktiver Zerfall
Der radioaktive Zerfall eines Atomkerns ist ein völlig zufälliger Prozess. Wir können nicht vorhersagen, wann ein bestimmter Kern zerfallen wird. Daher wissen wir auch nicht genau, wann noch wie viele Kerne nicht zerfallen sind.
Andererseits hat fast jeder in der Oberstufe das radioaktive Zerfallsgesetz
kennengelernt. Dabei ist die Zahl der zu Beginn vorhandenen Kerne,
die Anzahl der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne und
ist die Zerfallskonstante des Materials. Das ist ein exakter funktionaler Zusammenhang.
Wie kann ein völlig zufälliger Vorgang zu einem exakten Gesetz führen?
Weiterlesen „Wahrscheinlichkeit und radioaktiver Zerfall“Fourier-Reihen, Teil 9b
Fourier-Reihen, Teil 9 – komplexe Signale und Kurven in der Ebene
In den bisherigen Teilen haben wir uns mit der Fourier-Analyse reeller Signale beschäftigt. Dabei haben wir rotierende Zeiger unterschiedlicher Frequenzen addiert und die Projektion des Summenzeigers ergab unser zeitabhängiges Signal (s. Teil 1).
Der Summenzeiger hat dabei recht komplizierte Kurven in der komplexen Ebene beschrieben (s. speziell Teil 2). In diesem Teil stellen wir nun die Frage, wie wir geschlossene, ebene Kurven in eine Summe von rotierenden Zeigern verwandeln können.
Einfache Beispiele für solche Kurven sind Lissajous-Figuren wie in Abb. 1 gezeigt. Wir betrachten dabei die Bahnkurve eines Punktes, dessen x– und y-Koordinaten allgemeine Sinus-Funktionen der Zeit t sind. Wenn der Quotient der beiden Frequenzen rational ist, sind die Bahnen geschlossen – und damit periodisch.

Fourier-Reihen, Teil 8 – von der Reihe zur Fourier-Transformation
Periodische Signale s können wir in ihre einzelnen Frequenzanteile zerlegen und damit in eine Fourier-Reihe entwickeln. Wie wir in Teil 3 gesehen haben, erhalten wir das Transformations-Paar
,
wobei T die Periodendauer des Signals ist. Von den komplexe Fourier-Koeffizienten gibt es abzählbar unendlich viele, jeweils beim k-fachen der Grundkreisfrequenz
(es gilt
). Für rein reelle Signale brauchen wir die Koeffizienten nur für
berechnen, weil
ist.
In diesem Teil soll es nun speziell um die nicht-periodischen Signale gehen. Wir werden sehen, dass es da auch so ein Transformations-Paar gibt. Abzählbar unendlich viele Koeffizienten reichen dafür aber nicht mehr aus.
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 8 – von der Reihe zur Fourier-Transformation“Fourier-Reihen, Teil 7 – wie Signale in Frequenzen zerlegt werden
Wenn wir ein Signal in eine Fourier-Reihe »entwickeln«, müssen wir herausfinden, welche Frequenzen in diesem Signal stecken. Die Formeln dazu haben wir schon in Teil 3 gesehen. Aber warum funktioniert das – speziell bei gemessenen Signalen – wirklich?
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 7 – wie Signale in Frequenzen zerlegt werden“Fourier-Reihen, Teil 6b – DFT gemessener Signale
Im letzten Teil haben wir die Fourier-Koeffizienten eines Signals s numerisch berechnet, unter der Voraussetzung, die Periodendauer des Signals zu kennen.
Wenn wir ein Signal messen, kennen wir dessen Periodendauer normalerweise nicht. Wir messen einfach während der Messdauer mit der Sampling-Frequenz (Abtastrate)
die momentanen Werte
. Wie beeinflusst das die Fourier-Koeffizienten?
Abb. 1 zeigt nochmals unser Signal
aus dem letzten Teil.

Fourier-Reihen, Teil 6 – Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
In Teil 3 haben wir gesehen, dass wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Summe rotierender Zeiger
schreiben können (zumindest wenn s »schön« ist). Dabei ist die Grundfrequenz und die Grundkreisfrequenz
mit
.
Wir haben auch gesehen, dass wir die Fourier-Koeffizienten über die Mittelwerte
erhalten. Dabei müssen wir über eine ganze Periode integrieren, egal wo wir anfangen: 0 bis T, bis
,
bis
, …
Wenn wir den Verlauf des Signals s tatsächlich als mathematischen Funktionsterm kennen, sind diese Integrale prinzipiell berechenbar – auch wenn es manchmal kompliziert werden kann. Aber was, wenn wir den Funktionsterm des Signals nicht kennen, z.B. weil wir es gemessen haben? – In beiden Fällen können wir die Integrale zumindest näherungsweise numerisch berechnen.
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 6 – Diskrete Fourier-Transformation (DFT)“Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums
Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:
,
wobei die Grundkreisfrequenz ist. Für die komplexen Amplituden haben wir
erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.
Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums“