Warum ein Kondensator und ein Widerstand auch besser integrieren können

Vor einger Zeit haben wir diskutiert, dass ein Kondensator und ein Widerstand ziemlich gut differenzieren/ableiten können. In diesem Beitrag werden wir sehen, dass das auch fürs Integrieren gilt.

(Wer schon integrieren kann, kann den folgenden Abschnitt überspringen.)

Integrieren

Wenn wir den Graphen einer Funktion zeichnen, bekommen wir eine Kurve in einem Koordinatensystem. Dabei stellt sich geometrisch z.B. die Frage, wie steil die Kurve relativ zur horizontalen Achse ist. Die Antwort gibt uns die Ableitung der Funktion, also ihre Änderungsrate. Und die können wir durch Differenzieren der Funktion berechnen.

Eine andere geometrische Frage ist nach der Größe des Flächeninhalts A zwischen Funktionsgraph und horizontaler Achse (s. Abb. 1). Dabei wollen wir annehmen, dass unser Graph von f (die »Randkurve«) bis auf Sprungstellen oder punktförmige Lücken stetig ist.

Abb. 1: Wie bekommen wir den Flächeninhalt A unter einer Kurve?

Um den Flächeninhalt A zu abzuschätzen, können wir unsere Fläche in n Rechtecke unterteilen (s. Abb. 2). Zur Vereinfachung sollen die Rechtecke alle dieselbe Breite $\Delta x=(b-a)/n$ haben.

Abb. 2: Unsere Fläche kann näherungsweise in viele Rechtecke zerlegt werden.

Die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke ist dann eine Näherung für unser gesuchtes A:

$\displaystyle A\approx\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\cdot\Delta x$ .

Wenn wir die Anzahl der Rechtecke immer größer machen ( $n\to\infty$ ), wird ihre Breite immer kleiner ( $\Delta x\to0$ ). Wir können dann erwarten, dass die Summe der Rechtecksflächeninhalte unserem gesuchten Flächeninhalt A immer näher kommt. Dieser Grenzwert ist das bestimmte Integral

$\displaystyle A=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ .

Das Integralzeichen $\int$ ist dabei ein langgezogenes S, das uns an die Summe erinnern soll.

Bislang ist das Ganze nur eine neue Schreibweise, weil wir außer der Rechteckssumme nicht wissen, wie wir es ausrechnen können.

Nehmen wir jetzt wie in Abb. 3 an, dass wir unseren Flächeninhalt wenn nicht bis b, dann zumindest bis zu irgendeinem $x_0$ davor berechnen können.

Abb. 3: Wie hängen die Flächeninhaltsfunktion F und die Randkurve f zusammen?

Dieser Flächeninhalt ist dann der Wert der Flächeninhaltsfunktion F an der Stelle $x_0$ :

$\displaystyle F(x_0)=\int_a^{x_0}f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Wenn wir ein kleines Stück $\Delta x$ weitergehen, kommt näherungsweise der Flächeninhalt eines Rechtecks der Breite $\Delta x$ und Höhe $f(x_0)$ dazu:

$\displaystyle F(x_0 + \Delta x)\approx F(x_0)+f(x_0)\cdot\Delta x$ .

Umformen nach f liefert uns:

$\displaystyle\frac{F(x_0 + \Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}\approx f(x_0)$ .

Im Grenzübergang $\Delta x\to0$ wird daraus

$F'(x_0)=f(x_0)$ .

Das heißt, die Ableitung (momentane Änderungsrate) der Flächeninhaltsfunktion F ist gleich dem Funktionswert der Randkurve f an dieser Stelle. Interessant!

Wenn wir also eine Funktion F finden, mit $F'(x)=f(x)$ , haben wir unser Problem gelöst:

$\displaystyle A=F(b)=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ .

Es gibt aber einen kleinen Schönheitsfehler: Beim Ableiten fallen additive Konstanten weg. Wenn wir Pech haben, erwischen wir also nicht unser gesuchtes F, sondern eine andere Stammfunktion G mit $G(x)=F(x)+k$ . Für deren Ableitung gilt ja auch

$\displaystyle G'(x)=\left(F(x)+k\right)'=F'(x)+0=f(x)$ .

Weil bei a unsere Fläche erst anfängt, muss $F(a)=0$ sein. Daraus folgt

$G(a)=F(a)+k=k$ .

Wenn wir dieses k wieder von G abziehen, bekommen wir unser gesuchtes F, und damit

$\displaystyle A=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)=G(b)-G(a)$ .

Statt

$G'(x)=f(x)$

können wir für eine Stammfunktion G auch das unbestimmte Integral

$\displaystyle G(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x+k$

schreiben. Das schaut beeindruckend aus, aber bedeutet nur, dass wir unsere Tabellen mit den Ableitungen in die andere Richtung lesen müssen. In diesem Sinn sind Ableitung und Integral Umkehroperationen zueinander. Das k nennt man die Integrationskonstante.

Solange unsere Randkurve f im Wesentlichen stetig ist (allgemeiner: Riemann-integrierbar ist), funktioniert die Sache auf jeden Fall. Bei komplizierteren Funktionen landet man beim Lebesgue-Integral, wo obige Überlegungen nicht an jeder Stelle gelten, sondern nur an »fast jeder«.

Falls die Randkurve f in einem Bereich negativ wird, wird auch die Fläche dort negativ gezählt. Wenn wir also an der tatsächlichen geometrischen Fläche interessiert sind, müssen wir $\lvert f(x)\rvert$ integrieren.

Integrierer

Wie wir oben gesehen haben, sind Differenzieren und Integrieren im Wesentlichen Umkehroperationen zueinander. Wenn wir Kondensator und Widerstand vertauschen, erhalten wir entsprechend statt einem Differenzierer einen Integrierer (s. Abb. 4 in Vergleich zu Abb. 3 aus dem letzten Beitrag.).

Abb. 4: Ein RC-Glied als Integrierer. Die Ausgangsspannung $u_C$ soll das Integral der Eingangsspannung $u$ sein.

Warum? Durch beide Bauteile fließt immer noch derselbe Strom

$\displaystyle i=C\cdot\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ .

Unsere Ausgangsspannung ist jetzt aber die Kondensatorspannung $u_C$ . Um die zu erhalten, müssen wir ihre Ableitung rückgängig machen, also beide Seiten integrieren:

$\displaystyle u_C=\frac{1}{C}\int_0^t i\,\mathrm{d}t+u_C(0)$ .

Wir müssen $u_C(0)$ addieren, weil der Kondensator beim Einschalten ( $t=0$ ) vielleicht teilweise geladen war. Mit dem ohmschen Gesetz $i=u_R/R$ und der Maschenregel $u_R=u-u_C$ erhalten wir dann

$\displaystyle u_C=\frac{1}{RC}\int_0^t u-u_C\,\mathrm{d}t+u_C(0)$ .

(Auch beim Integrieren können wir konstante Faktoren wie R herausheben.)

Falls hier jetzt $u_C$ betragsmäßig viel kleiner als u ist, haben wir dann näherungsweise

$\displaystyle u_C\approx\frac{1}{RC}\int_0^t u\,\mathrm{d}t+u_C(0)$ .

Wie Abb. 5 andeutet, ist $u_C$ als das Integral der Spannung u betragsmäßig umso kleiner, je schneller sich die Spannung u ändert. Bei höheren Frequenzen hat man in derselben Zeit mehr positive und »negative« Flächen, die sich zu Null addieren.

Abb. 5: Das Integral von 0 bis t für zwei sinusförmige Spannungen mit gleicher Amplitude. Das untere Signal hat die zehnfache Frequenz des oberen.

Oder anders begründet:

$\displaystyle\int_0^t\sin(t)\,\mathrm{d}t=1-\cos(t)$ ,

aber

$\displaystyle\int_0^t\sin(\omega\cdot t)\,\mathrm{d}t=\frac{1-\cos(\omega\cdot t)}{\omega}$ .

Je größer die Kreisfrequenz $\omega$ wird, desto kleiner wird der Wert des Integrals.

Im Gegensatz zum Differenzierer funktioniert der Integrierer bei hohen Frequenzen besser. Schauen wir uns den Integrierer also wieder im Frequenzbereich an.

idealer Integrierer

Wenn wir ein sinusförmiges Signal

$u(t)=\hat{u}\cdot\sin(\omega t+\varphi_u)$

integrieren, erwarten wir bis auf eine additive Integrationskonstante

$\displaystyle\begin{aligned}\int u(t)\,\mathrm{d}t&=\int\hat{u}\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi_u)\,\mathrm{d}t\\&=-\frac{\hat{u}}{\omega}\cdot\cos(\omega\cdot t+\varphi_u)\\&=\frac{\hat{u}}{\omega}\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi_u-90^\circ)\,.\end{aligned}$

Der Faktor $1/\omega$ kommt aufgrund der linearen Substitution dazu, und die letzte Zeile gilt, weil minus der Cosinus ein 90° nach hinten geschobener Sinus ist.

Das Integral einer allgemeinen Sinus-Funktion ist also auch eine allgemeine Sinus-Funktion derselben Frequenz. Das Verhältnis der Amplituden von Integral und Signal ist

$\displaystyle\frac{\hat{u}/\omega}{\hat{u}}=\frac{1}{\omega}$ ,

also indirekt proportional zur Frequenz. Die Phasenverschiebung von Signal zu Integral beträgt -90°.

nicht-idealer Integrierer

Obwohl wir jetzt R und C vertauscht haben, handelt es sich bei der Schaltung in Abb. 4 immer noch um einen komplexen Spannungsteiler. Es sind nur die Impedanzen vertauscht, und statt $u_R$ interessiert uns jetzt $u_C$ ; die komplexe Spannungsverstärkung ist daher

$\displaystyle\underline{A}=\frac{\underline{U}_C}{\underline{U}}=\frac{\frac{1}{\underline{j}\omega C}}{R+\frac{1}{\underline{j}\omega C}}=\frac{1}{1+\underline{j}\omega RC}$ .

Für das Verhältnis der beiden Spannungsamplituden erhalten wir

$\displaystyle\frac{\hat{u}_C}{\hat{u}}=\lvert\underline{A}\rvert=\frac{\lvert\underline{U}_C\rvert}{\lvert\underline{U}\rvert}=\frac{1}{\left\lvert1+\underline{j}\omega RC\right\rvert}=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$ .

Im Gegensatz zum Differenzierer sind es jetzt die großen Frequenzen, bei denen wir den addierten Einser vernachlässigen können, wodurch das Amplitudenverhältnis indirekt proportional zur Frequenz wird:

$\displaystyle\frac{\hat{u}_C}{\hat{u}}=\frac{\lvert\underline{U}_C\rvert}{\lvert\underline{U}\rvert}\approx\frac{1}{\sqrt{(\omega RC)^2}}=\frac{1}{\omega RC}=\frac{1}{\omega}\cdot\frac{1}{RC}$ .

Für einen Integrierer muss die Grundkreisfrequenz unseres Signals daher viel größer sein als die Grenzkreisfrequenz $\omega_g=1/(RC)$ .

Die Phasenverschiebung von u zu $u_C$ bekommen wir wieder als Winkel der Spannungsverstärkung

$\displaystyle\begin{aligned}\arg(\underline{A})&=\arg(1)-\arg(1+\underline{j}\omega RC)\\&=0-\arctan\!\left(\frac{\omega RC}{1}\right)\\&=-\arctan(\omega RC)\,.\end{aligned}$

Wenn wir weit oberhalb der Grenzfrequenz sind, ist $\omega RC$ sehr groß, und minus der Arkustangens wird ungefähr -90°.

Für kleine Frequenzen hingegen wird die komplexe Spannungsverstärkung $\underline{A}\approx1$ und daher $u_C\approx u$ . Unser RC-Glied verhält sich damit als Tiefpass, weil Spannungen niedriger Frequenz praktisch unverändert durchgehen, mit hohen Frequenzen aber nicht.

Bode-Diagramm

Abb. 6 vergleicht einen idealen Integrierer mit unserem RC-Tiefpass im Bode-Diagramm.

In einem doppelt-logarithmischen Koordinatensystem wird eine indirekte Proportionalität als Gerade mit Steigung -1 dargestellt. Aus $y=k/x$ folgt nämlich $\log(y)=-\log(x)+\log(k)$ . Eine direkte Proportionalität wie beim Differenzierer ist auch in einem linearen Koordinatensystem eine Gerade. Der Vorteil des doppelt-logarithmischen Koordinatensystems ist, dass sogar eine indirekte Proportionalität als Gerade erscheint.

Wie wir es für einen idealen Integrierer gerne hätten, ist das Amplitudenverhältnis für große Frequenzen tatsächlich indirekt proportional zur Frequenz. Ebenso liegt die Phasenverschiebung bei knapp -90°. Wenn wir uns der Grenzfrequenz $f_g$ nähern, gibt es bereits Abweichungen. Für kleine Frequenzen wirkt der Kondensator nämlich wie eine Unterbrechung. Dadurch ist dann die Ausgangsspannung praktisch gleich der Eingangsspannung.

Beispiele

Der Aufbau für den Integrierer ist in Abb. 7 gezeigt. Das Eingangssignal wurde von einem Funktionsgenerator erzeugt. Es geht über ein T-Stück in die Schaltung und in Kanal 1 des Oszilloskops. Das Ausgangssignal geht in Kanal 2 des Oszilloskops.

Abb. 7: Integrierer. Hier ist der 10 kΩ-Widerstand waagrecht gesteckt. Der 220 nF-Kondensator ist das kleine rote Rechteck. Weil jeweils fünf senkrechte Löcher miteinander verbunden sind, musste ich den Kondensator etwas schräg stecken.

Wir wollen jetzt eine kleine Grenzfrequenz, also brauchen wir einen großen Widerstand und eine große Kapazität.

Als Widerstand habe ich einfach $R=10\,\text{k}\Omega$ verwendet und einen Kondensator mit $C=220\,\text{nF}$ . Beide Werte sind etwa 100-mal so groß wie beim Differenzierer. Entsprechend erwarten wir eine 10000-mal kleinere Grenzfrequenz. Mit obigen Werten haben wir $f_g\approx72\,\text{Hz}$ . Beim Differenzierer waren wir mit der Signalfrequenz etwa den Faktor 50 unterhalb der Grenzfrequenz. Hier habe ich die Grundfrequenz mit 3 kHz gewählt, was einen ähnlichen Faktor ergibt

Abb. 8 zeigt das Ergebnis zunächst wieder für ein reines Sinus-Signal. Die Ausgangsspannung ist ziemlich genau eine Viertelperiode nach hinten geschoben, was einem minus Cosinus entspricht. Das Amplitudenverhältnis ist ungefähr 0.024, was genau dem erwarteten Wert für unsere Frequenzen entspricht.

Abb. 8: Ein Sinus-Signal (oben) und sein Integral (unten).

Wie schon beim Differenzierer verwendet das Oszilloskop eine sehr komische Vorzeichenkonvention, was die Phasenverschiebung von Kanal 1 zu Kanal 2 betrifft. Aus mathematischer Sicht wird das falsche Vorzeichen angezeigt.

Die Integration eines Dreieck-Signals ist in Abb. 9 gezeigt. Das Integral sieht ein bisschen wie minus der Cosinus aus. Im Vergleich mit Abb. 8 sieht man, dass die Maxima und Minima etwas runder sind. Das Integral einer linearen Funktion ist nämlich quadratisch. Hier folgt also ein Parabelbogen auf den nächsten. Wenn die lineare Funktion steigt, ist der Bogen nach oben offen (positiv gekrümmt), ansonsten nach unten offen (negativ gekrümmt).

Abb. 9: Ein Dreieck-Signal (oben) und sein Integral (unten).

Die Integration eines Rechteck-Signals wird noch in Abb. 10 gezeigt. Wenn die Eingangsspannung konstant ist, nimmt die Fläche mit der Zeit linear zu oder ab. Das Integral ist daher eine Dreieck-Spannung.

Abb. 10: Ein Rechteck-Signal (oben) und sein Integral (unten).

Diskussion

Zumindest für ein paar periodische Funktionen haben wir gesehen, dass ein Kondensator und ein Widerstand differenzieren bzw. integrieren können. Bei beiden muss man auf die verwendeten Frequenzen achten: Der Differenzierer funktioniert gut für kleine Frequenzen, der Integrierer für große Frequenzen.

Wie wir auch gesehen haben, ergänzen sich die Diskussionen im Zeit- und Frequenzbereich. Im Zeitbereich ist klar, dass die Ableitung bzw. das Integral des Signals klein sein müssen. Aber erst im Frequenzbereich sehen wir, wann das wirklich der Fall ist.

Vom Funktionsgenerator wurden alle Signale mit Mittelwert 0 geliefert. Entsprechend sind alle gelben Pfeile (links) genau in der Mitte der Signale. Beim Integrieren wird aber noch die Kondensatorspannung $u_C(0)$ zum Zeitpunkt des Einschaltens addiert. Der Wert ist eher zufällig, je nachdem, wann ich von einem Signal zum anderen umgeschaltet habe. In Abb. 8 bis 10 sind die blauen Pfeile daher nicht mehr exakt in der Mitte des integrierten Signals.