Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums

Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:

\displaystyle s(t) = \Im\left(\sum_{k=0}^\infty \underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right) = \sum_{k=0}^\infty \Im\left(\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right) ,

wobei \omega_1 = \tau/T = 2\pi/T die Grundkreisfrequenz ist. Für die komplexen Amplituden haben wir

\underline{A}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k = 0 \text{ ist}\\[3ex] \displaystyle \frac{2\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k > 0 \text{ ist}\end{cases}

erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.

Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.

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Komplexe Zahlen, Teil 6b – die allgemeine Sinus-Funktion

Im letzten Teil haben wir gesehen, wie rotierende Zeiger mit der Sinus-Funktion zusammenhängen. Wir konnten die Kreisfrequenz \omega, die Amplitude A, die Phase \varphi oder den Mittelwert m vorgeben.

Oder wir geben alle vier Parameter gleichzeitig vor, was uns zur allgemeinen Sinus-Funktion

\Im\left(\underline{A}e^{\underline{i}\omega t} + m\underline{i}\right) = \Im\left(A e^{\underline{i} (\omega t + \varphi)} + m\underline{i}\right) = A\sin(\omega t + \varphi) + m

führt. Ein Beispiel dafür zeigt Abb. 1.

ZeigerAllgSin
Abb. 1: allgemeine Sinus-Funktion mit Amplitude A = 2, Kreisfrequenz \omega, Phase \varphi = \tau/8 = 45^\circ und Mittelwert m = 1.

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