Sinus-Funktion – Herr Fessa

Komplexe Zahlen, Teil 8 – räumliche Schwingungen und Wellen

In Teil 6 der komplexen Zahlen und den bisherigen Teilen zur Fourier-Reihe haben wir uns mit zeitabhängigen Sinus-Funktionen, also zeitlichen Schwingungen, beschäftigt. In diesem Teil soll es um räumliche Schwingungen gehen – in einer und mehr Dimensionen. Den Abschluss bilden dann harmonische Wellen, also Schwingungen, die sich mit der Zeit im Raum ausbreiten.

Abb. 1 zeigt noch einmal eine sinusförmige Schwingung in der Zeit. Wir können sie uns als die Projektion eines rotierenden Zeigers vorstellen, dessen Winkel von der Zeit t abhängt.

Abb. 1: eine sinusförmige Schwingung in der Zeit.

Räumliche Schwingungen in 1D

Wir könnten uns aber auch vorstellen, dass der Winkel des Zeigers nicht von der Zeit t, sondern vom Ort x abhängt. Wie Abb. 2 zeigt, ergibt die Projektion dann eine Sinus-Funktion entlang der x-Achse.

Abb. 2: eine sinusförmige Schwingung entlang der x-Achse.

Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums

Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:

$\displaystyle s(t) = \Im\left(\sum_{k=0}^\infty \underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right) = \sum_{k=0}^\infty \Im\left(\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right)$ ,

wobei $\omega_1 = \tau/T = 2\pi/T$ die Grundkreisfrequenz ist. Für die komplexen Amplituden haben wir

$\underline{A}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k = 0 \text{ ist}\\[3ex] \displaystyle \frac{2\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k > 0 \text{ ist}\end{cases}$

erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.

Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.

Komplexe Zahlen, Teil 6b – die allgemeine Sinus-Funktion

Im letzten Teil haben wir gesehen, wie rotierende Zeiger mit der Sinus-Funktion zusammenhängen. Wir konnten die Kreisfrequenz $\omega$ , die Amplitude $A$ , die Phase $\varphi$ oder den Mittelwert $m$ vorgeben.

Oder wir geben alle vier Parameter gleichzeitig vor, was uns zur allgemeinen Sinus-Funktion

$\Im\left(\underline{A}e^{\underline{i}\omega t} + m\underline{i}\right) = \Im\left(A e^{\underline{i} (\omega t + \varphi)} + m\underline{i}\right) = A\sin(\omega t + \varphi) + m$

führt. Ein Beispiel dafür zeigt Abb. 1.

ZeigerAllgSin — Abb. 1: allgemeine Sinus-Funktion mit Amplitude $A = 2$ , Kreisfrequenz $\omega$ , Phase $\varphi = \tau/8 = 45^\circ$ und Mittelwert $m = 1$ .

Abb. 1: allgemeine Sinus-Funktion mit Amplitude $A = 2$ , Kreisfrequenz $\omega$ , Phase $\varphi = \tau/8 = 45^\circ$ und Mittelwert $m = 1$ .