Fourier-Reihen, Teil 8 – von der Reihe zur Fourier-Transformation

Periodische Signale s können wir in ihre einzelnen Frequenzanteile zerlegen und damit in eine Fourier-Reihe entwickeln. Wie wir in Teil 3 gesehen haben, erhalten wir das Transformations-Paar

\displaystyle s(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\quad\text{und}\quad\underline{S}_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}s(t)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t}\,\mathrm{d}t ,

wobei T die Periodendauer des Signals ist. Von den komplexe Fourier-Koeffizienten \underline{S}_k gibt es abzählbar unendlich viele, jeweils beim k-fachen der Grundkreisfrequenz \omega_1=\tau/T (es gilt \tau=2\pi). Für rein reelle Signale brauchen wir die Koeffizienten nur für k\geq0 berechnen, weil \underline{S}_{-k}=\underline{S}_k^* ist.

In diesem Teil soll es nun speziell um die nicht-periodischen Signale gehen. Wir werden sehen, dass es da auch so ein Transformations-Paar gibt. Abzählbar unendlich viele Koeffizienten reichen dafür aber nicht mehr aus.

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Fourier-Reihen, Teil 1 – Addition rotierender Zeiger

In Teil 6 der Serie über komplexe Zahlen haben wir Zeiger besprochen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis drehen. Die Projektion so eines Zeigers entlang der reellen Achse ergab eine zeitabhängige Funktion – die allgemeine Sinus-Funktion.

Was passiert, wenn wir – wie in Abb. 1 gezeigt – mehrere solche Zeiger addieren? Welche Funktionen ergeben sich aus der Projektion des Summenzeigers?

ZeigerSin1Sin2
Abb. 1: Addition verschieden schnell rotierender Zeiger. Der rote Summenzeiger läuft nicht mehr auf einem Kreis, sondern entlang einer Epizykloide.
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Komplexe Zahlen, Teil 6b – die allgemeine Sinus-Funktion

Im letzten Teil haben wir gesehen, wie rotierende Zeiger mit der Sinus-Funktion zusammenhängen. Wir konnten die Kreisfrequenz \omega, die Amplitude A, die Phase \varphi oder den Mittelwert m vorgeben.

Oder wir geben alle vier Parameter gleichzeitig vor, was uns zur allgemeinen Sinus-Funktion

\Im\left(\underline{A}e^{\underline{i}\omega t} + m\underline{i}\right) = \Im\left(A e^{\underline{i} (\omega t + \varphi)} + m\underline{i}\right) = A\sin(\omega t + \varphi) + m

führt. Ein Beispiel dafür zeigt Abb. 1.

ZeigerAllgSin
Abb. 1: allgemeine Sinus-Funktion mit Amplitude A = 2, Kreisfrequenz \omega, Phase \varphi = \tau/8 = 45^\circ und Mittelwert m = 1.
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Komplexe Zahlen, Teil 6 – rotierende Pfeile (Zeiger) und trigonometrische Funktionen

Bisher haben wir nur zeitlich fixierte Pfeile in der Ebene betrachtet. Ab jetzt lassen wir sie mit konstanter Geschwindigkeit rotieren – wodurch sie zu Zeigern werden.

Der Pfeil e^{\underline{i}\,\alpha} hatte die Länge (den Betrag) 1 und den Winkel \alpha gegen die reelle Achse \Re (s. Abb. 1). Wenn der Winkel \alpha linear mit der Zeit t zunimmt, kann man ihn als zeitlich veränderlichen Bruchteil der vollen Umdrehung \tau = 2\pi auffassen:

\displaystyle\alpha = \frac{t}{T} \cdot \tau = \frac{\tau}{T} \cdot t .

Abb. 1: Ein Pfeil mit fixem Winkel \alpha = \tau/8 = 45^\circ (links) und ein Zeiger, dessen Winkel linear mit der Zeit zunimmt (rechts). Der mathematisch positive Drehsinn ist gegen den Uhrzeigersinn.
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