Backprojection – Herr Fessa

Computertomographie (CT), Teil 8

Im letzten Teil haben wir gesehen, dass Objekte Licht in unterschiedlichem Ausmaß durchlassen können. Im Folgenden werden wir uns nur mit Absorption beschäftigen. Abb. 1 zeigt unsere bereits aus Teil 1 bekannten Objekte, allerdings mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten. Zusätzlich ist der Kreis jetzt ein innen hohler Kreisring. Die Detektorpixel sind jetzt nicht mehr nur schwarz/weiß, sondern zeigen auch Helligkeiten dazwischen.

SetupParallelAbs — Abb. 1: Drei Objekte mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten, eines davon hohl. Das Dreieck hat $\mu = 0.8\,\text{cm}^{-1}$ , der Kreisring hat $\mu = 0.6\,\text{cm}^{-1}$ und das Quadrat hat $\mu = 0.4\,\text{cm}^{-1}$ .

Abb. 1: Drei Objekte mit unterschiedlichen Absorptionskoeffizienten, eines davon hohl. Das Dreieck hat $\mu = 0.8\,\text{cm}^{-1}$ , der Kreisring hat $\mu = 0.6\,\text{cm}^{-1}$ und das Quadrat hat $\mu = 0.4\,\text{cm}^{-1}$ .

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Computertomographie (CT), Teil 6

Eine Linie aus kleinen Quadraten

In Teil 5 haben wir die Rasterung besprochen und gesehen, wie man Punkt-Koordinaten in der »realen« Welt in Pixel-Koordinaten umrechnet. Jetzt müssen wir diese Punkte durch eine Linie aus Pixeln verbinden (s. Abb. 1). Die Pixel, in denen die Punkte $P$ und $Q$ liegen, gehören auf jeden Fall dazu. Aber welche noch?

Linie1 — Abb. 1: Durch welche Pixel geht die Verbindungslinie von $P$ und $Q$ ?

Abb. 1: Durch welche Pixel geht die Verbindungslinie von $P$ und $Q$ ?

Dieses Problem trat schon zu Beginn der Computergraphikära auf und wurde in den verschiedensten Varianten gelöst. Im Folgenden besprechen wir eine Variante des Bresenham-Algorithmus für Linien.

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Computertomographie (CT), Teil 5

Der diskrete Charme der Pixel

Wie schon gesagt, muss man für die Rückprojektion der Schattenbilder ein Pixel-Gitter über die reale physikalische Szene legen (s. Abb. 1). Man spricht dabei von Rasterung. Nachdem es sich um eine kreisförmige Szene mit Radius $r$ handelt, ist das Gitter sinnvollerweise quadratisch, und die Anzahl der Pixel in $x$ – und $y$ -Richtung wird gleich gewählt, also $n_x = n_y = n$ . Die Pixel sind dann Quadrate mit einer realen Seitenlänge von $s = 2 r / n$ . Um die Formeln etwas zu vereinfachen wählen wir für $n$ eine gerade Zahl, was keine große Einschränkung bedeutet.

Gitter1 — Abb. 1: Das kreisförmige Gebiet mit Radius $r$ wird mit einem (8×8)-Pixelgitter überdeckt. Der Ursprung des Pixel-Koordinatensystems befindet sich links oben. Die $i$ -Achse zeigt wie die $x$ -Achse nach rechts, die $j$ -Achse zeigt entgegen der $y$ -Achse nach unten.

Abb. 1: Das kreisförmige Gebiet mit Radius $r$ wird mit einem (8×8)-Pixelgitter überdeckt. Der Ursprung des Pixel-Koordinatensystems befindet sich links oben. Die $i$ -Achse zeigt wie die $x$ -Achse nach rechts, die $j$ -Achse zeigt entgegen der $y$ -Achse nach unten.

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Computertomographie (CT), Teil 4

In Teil 3 haben wir aus unseren »Schattenmessungen« ein sehr grobes Bild unserer Objekte rekonstruiert. Im Folgenden sehen wir uns einige bessere Rekonstruktionen an.

BackProjParallel_512_0.5Deg_128x128 — Abb. 1: (128×128)-Pixel Rekonstruktion der Messung mit einem 512-Pixel Detektor und 0.5° Winkelauflösung.

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Computertomographie (CT), Teil 3

Rückprojektion (backprojection)

In Teil 1 ging es um die grundsätzliche Funktionsweise eines CT. In Teil 2 haben wir verschiedene Radon-Transformationen unserer Objekte gesehen.

Jetzt geht es darum, wie wir die Lage und Form unserer Objekte aus der Radon-Transformation rekonstruieren können. Es gibt mehrere Methoden, aber eine der einfachsten – und auch (mit Verbesserungen) in medizinischen CTs verwendete – ist die Rückprojektion (backprojection).

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