Ein Mathe/NaWi-Lehrer und wie er die Welt sieht.
Im letzten Teil haben wir die Fourier-Koeffizienten eines Signals s numerisch berechnet, unter der Voraussetzung, die Periodendauer des Signals zu kennen.
Wenn wir ein Signal messen, kennen wir dessen Periodendauer normalerweise nicht. Wir messen einfach während der Messdauer 
Abb. 1 zeigt nochmals unser Signal
aus dem letzten Teil.
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 6b – DFT gemessener Signale“
In Teil 3 haben wir gesehen, dass wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Summe rotierender Zeiger
schreiben können (zumindest wenn s »schön« ist). Dabei ist die Grundfrequenz 
Wir haben auch gesehen, dass wir die Fourier-Koeffizienten 
erhalten. Dabei müssen wir über eine ganze Periode integrieren, egal wo wir anfangen: 0 bis T, 
Wenn wir den Verlauf des Signals s tatsächlich als mathematischen Funktionsterm kennen, sind diese Integrale prinzipiell berechenbar – auch wenn es manchmal kompliziert werden kann. Aber was, wenn wir den Funktionsterm des Signals nicht kennen, z.B. weil wir es gemessen haben? – In beiden Fällen können wir die Integrale zumindest näherungsweise numerisch berechnen.
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 6 – Diskrete Fourier-Transformation (DFT)“
In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Addition von Sinussignalen unterschiedlicher Frequenzen wieder ein periodisches Signal ergibt, wenn alle Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz 
Die Polardarstellung komplexer Zahlen (s. Teil 3) ist besonders gut geeignet für Multiplikationen, Divisionen, Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen. Additionen und Subtraktionen sind nicht so einfach.
Mit etwas gutem Willen, geht es aber doch (s. Abb. 1) und führt zu interessanten Resultaten.
.Weiterlesen „Komplexe Zahlen, Teil 7 – Addition in Polardarstellung“
Die Prozentrechnung wird oft als schwierig befunden. Vielleicht auch deshalb, weil verschiedene Dinge miteinander vermischt werden.
Da ist zunächst einmal ein spezielles %-Zeichen. Aber das Einzige, was wir dazu wissen müssen, ist:
Das %-Zeichen ist die multiplikative Konstante 1 / 100 = 0.01 .
Die Ergebnisse der diesjährigen Mathe-Zentralmatura machen schon vor Bekanntgabe der endgültigen Ergebnisse Schlagzeilen (derStandard). Mit ein Grund für die etwas schlechteren Ergebnisse heuer dürfte die Anhebung der Lösungsquoten für die einzelnen Noten gewesen sein. In Abb. 1 habe ich sie für meine bisherigen vier Matura-Klassen (1-mal IT und 3-mal Mechatronik) als Funktion der Zeit gezeichnet.
(2018-05-21 überarbeitet) Wechselspannungen und Wechselströme sind im einfachsten Fall sinusförmig. Warum? Weil kompliziertere periodische Signale die Summe von Sinus-Funktionen unterschiedlicher Frequenzen sind (s. die Serie über Fourier-Reihen). Die einfachste Möglichkeit ist also ein Sinus mit einer Frequenz.
Da die Spannung u(t) (in V) und die Stromstärke i(t) (in A) vom selben elektromagnetischen Wechselfeld erzeugt werden, haben sie auch dieselbe Frequenz. Allerdings können sie zeitlich verschoben sein, müssen also nicht dieselbe Phase haben. Ein solches Beispiel ist in Abb. 1 gezeigt.
Weiterlesen „Zeiger und Wechselsspannungen bzw. Wechselströme“
Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:
wobei 
erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.
Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums“
In den ersten beiden Teilen (Teil 1 und Teil 2) haben wir rotierende Zeiger addiert, deren Frequenzen jeweils ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers waren. Die Projektion des Summenzeigers führt zu einer periodischen Funktion, mit einer Periodendauer, die gleich der Periode des langsamsten Zeigers ist.
Jetzt drehen wir die Sache um: Wir haben eine reelle, periodische Funktion s (das Signal; um nicht wieder f für die Funktion und die Frequenz zu verwenden), deren Periodendauer gleich T ist. Entsprechend ist ihre Grundfrequenz 
schreiben.
Wie kommen wir nun zu den komplexen Amplituden 
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 3 – Die Berechnung des Spektrums“
In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Projektion der Summe rotierender Zeiger eine periodische Funktion ergeben kann, wenn die Frequenzen der einzelnen Zeiger ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers sind.
In diesem Beitrag werden wir ein paar weitere Beispiele sehen und uns die komplexen Amplituden
![\underline{A}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k = 0 \text{ ist}\\[3ex] \displaystyle \frac{2\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k > 0 \text{ ist}\end{cases}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cunderline%7BA%7D_k+%3D+%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B%5Cunderline%7Bi%7D%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-%5Cfrac%7BT%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%2B%5Cfrac%7BT%7D%7B2%7D%7D+s%28t%29+%5C%2C+%5Cmathrm%7Bd%7Dt+%26+%5Ctext%7Bwenn+%7D+k+%3D+0+%5Ctext%7B+ist%7D%5C%5C%5B3ex%5D+%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7B2%5Cunderline%7Bi%7D%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-%5Cfrac%7BT%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%2B%5Cfrac%7BT%7D%7B2%7D%7D+s%28t%29+%5Ccdot+e%5E%7B-%5Cunderline%7Bi%7Dk%5Comega_1+t%7D+%5C%2C+%5Cmathrm%7Bd%7Dt+%26+%5Ctext%7Bwenn+%7D+k+%3E+0+%5Ctext%7B+ist%7D%5Cend%7Bcases%7D&bg=ffffff&fg=1a1a1a&s=0 "\underline{A}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k = 0 \text{ ist}\\[3ex] \displaystyle \frac{2\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k > 0 \text{ ist}\end{cases}")
