Herr Fessa

Malen mit Zahlen, Teil RS5 – Zoomen mit der Kamera

Im letzten Beitrag haben wir begonnen unsere Kamera zu »bewegen«. Allerdings war sie immer noch relativ groß und sehr nahe an den Objekten dran. In diesem Beitrag werden wir jetzt die Sensorgröße ändern und zoomen – bzw. mit dem Rest der Welt wieder das Gegenteil machen.

Die Animation in Abb. 1 zeigt unser Ziel: Wir simulieren eine Kleinbildkamera mit einem Bildsensor der Größe 36 mm x 24 mm (»full-frame«). Typischerweise kann man dann verschiedene Objektive aufsetzen, die sich in erster Linie durch ihre Brennweiten unterscheiden. Je größer die Brennweite, desto größer der Zoom.

Abb. 1: Der Abstand d der Kamera zum Kugelmittelpunkt bleibt konstant 3 m, die Brennweite n ändert sich.

Die Kamera steht an einem fixen Ort und hat zunächst nahe herangezoomt (Brennweite 135 mm). Anschließend zoomt sie heraus (bis Brennweite 24 mm) und dann wieder hinein. Je kleiner die Brennweite, desto kleiner erscheinen die Objekte. Gleichzeitig sieht man mehr von der Umgebung.

Malen mit Zahlen, Teil RS4 – »Bewegen der Kamera«

Im letzten Teil haben wir die Objekte in unserer Szene bewegt, indem wir sie mit Transformationsmatrizen aus einer Standardlage heraus verdreht, skaliert und verschoben haben. In diesem Teil werden wir jetzt die Kamera »bewegen« – bzw. den Rest der Welt genau umgekehrt.

Wir wollen uns mit der Kamera durch eine Szene bewegen können, z.B. in einem Flugsimulator. Ein einfaches Beispiel einer bewegten Kamera ist in Abb. 1 gezeigt. Unsere Kamera soll eine Szene umkreisen und immer in deren Mitte schauen. Die Kamera ist dabei etwas unterhalb und zeigt leicht nach oben.

Abb. 1: Die Kamera (weiße Pyramide) soll ein paar Objekte umkreisen und immer in deren Richtung schauen.

Warum ein Kondensator und ein Widerstand auch besser integrieren können

Vor einger Zeit haben wir diskutiert, dass ein Kondensator und ein Widerstand ziemlich gut differenzieren/ableiten können. In diesem Beitrag werden wir sehen, dass das auch fürs Integrieren gilt.

Was Lehrer beim Verbessern wirklich denken …

Nachdem ich über Weihnachten ein paar Schularbeiten und Tests verbessern durfte, konnte ich mich nicht mehr zurückhalten:

Wie und warum kommt man zu Median und Mittelwert?

Wenn wir viele Messwerte haben, würden wir sie gerne durch einen »typischen« Wert ersetzen, der meistens in der Mitte vermutet wird. Aber wo genau ist diese Mitte? Das wird in folgendem Video diskutiert (nicht eingebettet):

Es gibt auch eine englische Version:

Warum ein Kondensator und ein Widerstand besser differenzieren können als die meisten Leute

In Physik und Technik hängen viele Größen davon ab, wie schnell sich andere ändern. Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts, die Beschleunigung ist die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit, die Kraft ist die örtliche Änderungsrate der potentiellen Energie … Wenn wir diese Größen als Funktionen aufzeichnen, sehen wir die Änderungsrate als Steigung des Graphen.

Mathematisch fassen wir den Begriff der Änderungsrate über den Differentialquotienten, indem wir eine Funktion ableiten bzw. differenzieren:

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=f'(x)=\mathrm{D}_x\,f(x)$ .

Rein prinzipiell könnten wir eine riesige Tabelle erstellen, wo für jede Funktion ihre Ableitung drinnen steht. Spätestens bei $(x^2)'=2x$ , $(2x^2)'=4x$ , $(3x^2)'=6x$ … beginnt man an dieser Idee zu zweifeln. Stattdessen haben wir z.B. die allgemeine Regel, dass für jede differenzierbare Funktion f und jede Konstante k gilt: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ . Diese und weitere Regeln sind die Ableitungsregeln, die wir in richtiger Reihenfolge anwenden müssen. Bzw. müssten – denn oft schleichen sich hier Fehler ein.

Interessanterweise schaffen ein Kondensator und ein Widerstand das quasi nebenbei.

Wahrscheinlichkeit und radioaktiver Zerfall

Der radioaktive Zerfall eines Atomkerns ist ein völlig zufälliger Prozess. Wir können nicht vorhersagen, wann ein bestimmter Kern zerfallen wird. Daher wissen wir auch nicht genau, wann noch wie viele Kerne nicht zerfallen sind.

Andererseits hat fast jeder in der Oberstufe das radioaktive Zerfallsgesetz

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$

kennengelernt. Dabei ist $N_0$ die Zahl der zu Beginn vorhandenen Kerne, $N(t)$ die Anzahl der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne und $\lambda>0$ ist die Zerfallskonstante des Materials. Das ist ein exakter funktionaler Zusammenhang.

Wie kann ein völlig zufälliger Vorgang zu einem exakten Gesetz führen?

Malen mit Zahlen, Teil RS3 – Transformierte Objekte

In Teil RS2 haben wir Objekte als Drahtgitter-Modelle fix im Raum dargestellt. In diesem Teil sollen diese Objekte mithilfe der Matrizen aus Teil 2 animiert werden (s. Abb. 1).

Abb. 1: Animation einiger Drahtgitter-Modelle mit Hilfe von Matrizen. Die roten, grünen und blauen Linien sind die lokalen x-, y- bzw. z-Achsen der einzelnen Modelle.

Wie weit kann der Median vom Mittelwert abweichen?

Unlängst haben wir uns gefragt: »Wie weit können Messwerte vom Mittelwert abweichen?« Dieses Mal diskutieren wir den Median und seine Eigenschaften. Wir werden zeigen, dass der Abstand des Medians m zum Mittelwert $\bar{x}$ immer kleiner oder gleich der Standardabweichung $s_n$ ist:

$\boxed{\lvert m-\bar{x}\rvert\leq s_n}$ .

(Im Rahmen dieses Beitrags nehmen wir an, dass die Messwerte zumindest intervallskaliert sind.)

Unterwegs werden wir dabei zwei wichtige Ungleichungen besprechen.

YouTube-Kanal

Mitte März wurde aufgrund der COVID-19-Maßnahmen der Unterricht in Österreich bis auf Weiteres auf Distance Learning umgestellt. Ich habe damals einen YouTube-Kanal begonnen, um meine Stunden per Video halten zu können. Für Interessierte findet sich dieser Kanal hier.

In einem der letzten Videos ging es darum, woher wir wissen, dass Materie aus kleinen Teilchen besteht. Dazu gibt es auch ein PDF des Skriptums.