Herr Fessa

Warum ein Kondensator und ein Widerstand besser differenzieren können als die meisten Leute

In Physik und Technik hängen viele Größen davon ab, wie schnell sich andere ändern. Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts, die Beschleunigung ist die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit, die Kraft ist die örtliche Änderungsrate der potentiellen Energie … Wenn wir diese Größen als Funktionen aufzeichnen, sehen wir die Änderungsrate als Steigung des Graphen.

Mathematisch fassen wir den Begriff der Änderungsrate über den Differentialquotienten, indem wir eine Funktion ableiten bzw. differenzieren:

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=f'(x)=\mathrm{D}_x\,f(x)$ .

Rein prinzipiell könnten wir eine riesige Tabelle erstellen, wo für jede Funktion ihre Ableitung drinnen steht. Spätestens bei $(x^2)'=2x$ , $(2x^2)'=4x$ , $(3x^2)'=6x$ … beginnt man an dieser Idee zu zweifeln. Stattdessen haben wir z.B. die allgemeine Regel, dass für jede differenzierbare Funktion f und jede Konstante k gilt: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ . Diese und weitere Regeln sind die Ableitungsregeln, die wir in richtiger Reihenfolge anwenden müssen. Bzw. müssten – denn oft schleichen sich hier Fehler ein.

Interessanterweise schaffen ein Kondensator und ein Widerstand das quasi nebenbei.

Wahrscheinlichkeit und radioaktiver Zerfall

Der radioaktive Zerfall eines Atomkerns ist ein völlig zufälliger Prozess. Wir können nicht vorhersagen, wann ein bestimmter Kern zerfallen wird. Daher wissen wir auch nicht genau, wann noch wie viele Kerne nicht zerfallen sind.

Andererseits hat fast jeder in der Oberstufe das radioaktive Zerfallsgesetz

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$

kennengelernt. Dabei ist $N_0$ die Zahl der zu Beginn vorhandenen Kerne, $N(t)$ die Anzahl der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne und $\lambda>0$ ist die Zerfallskonstante des Materials. Das ist ein exakter funktionaler Zusammenhang.

Wie kann ein völlig zufälliger Vorgang zu einem exakten Gesetz führen?

Malen mit Zahlen, Teil RS3 – Transformierte Objekte

In Teil RS2 haben wir Objekte als Drahtgitter-Modelle fix im Raum dargestellt. In diesem Teil sollen diese Objekte mithilfe der Matrizen aus Teil 2 animiert werden (s. Abb. 1).

Abb. 1: Animation einiger Drahtgitter-Modelle mit Hilfe von Matrizen. Die roten, grünen und blauen Linien sind die lokalen x-, y- bzw. z-Achsen der einzelnen Modelle.

Wie weit kann der Median vom Mittelwert abweichen?

Unlängst haben wir uns gefragt: »Wie weit können Messwerte vom Mittelwert abweichen?« Dieses Mal diskutieren wir den Median und seine Eigenschaften. Wir werden zeigen, dass der Abstand des Medians m zum Mittelwert $\bar{x}$ immer kleiner oder gleich der Standardabweichung $s_n$ ist:

$\boxed{\lvert m-\bar{x}\rvert\leq s_n}$ .

(Im Rahmen dieses Beitrags nehmen wir an, dass die Messwerte zumindest intervallskaliert sind.)

Unterwegs werden wir dabei zwei wichtige Ungleichungen besprechen.

YouTube-Kanal

Mitte März wurde aufgrund der COVID-19-Maßnahmen der Unterricht in Österreich bis auf Weiteres auf Distance Learning umgestellt. Ich habe damals einen YouTube-Kanal begonnen, um meine Stunden per Video halten zu können. Für Interessierte findet sich dieser Kanal hier.

In einem der letzten Videos ging es darum, woher wir wissen, dass Materie aus kleinen Teilchen besteht. Dazu gibt es auch ein PDF des Skriptums.

Malen mit Zahlen, Teil 2 – Transformationen und Matrizen

Auch dieser Teil ist wieder gemeinsam für Rasterung/Schattierung und Raytracing.

Um Objekte im Raum zu platzieren, müssen wir die Koordinaten ihrer Eckpunkte angeben. Für ein kompliziertes Objekt aus vielen Punkten, das irgendwie im Raum verdreht ist, kann das kompliziert werden. Meistens ist es einfacher, die Punkte des Objekts in einer »Standardlage« anzugeben. Von dort aus können wir es in die gewünschte Lage »transformieren«.

Fourier-Reihen, Teil 9b

Zwischendurch eine kurze Animation des Logos meiner Schule:

Details in Teil 9.

Komplexe Zahlen, Teil 8 – räumliche Schwingungen und Wellen

In Teil 6 der komplexen Zahlen und den bisherigen Teilen zur Fourier-Reihe haben wir uns mit zeitabhängigen Sinus-Funktionen, also zeitlichen Schwingungen, beschäftigt. In diesem Teil soll es um räumliche Schwingungen gehen – in einer und mehr Dimensionen. Den Abschluss bilden dann harmonische Wellen, also Schwingungen, die sich mit der Zeit im Raum ausbreiten.

Abb. 1 zeigt noch einmal eine sinusförmige Schwingung in der Zeit. Wir können sie uns als die Projektion eines rotierenden Zeigers vorstellen, dessen Winkel von der Zeit t abhängt.

Abb. 1: eine sinusförmige Schwingung in der Zeit.

Räumliche Schwingungen in 1D

Wir könnten uns aber auch vorstellen, dass der Winkel des Zeigers nicht von der Zeit t, sondern vom Ort x abhängt. Wie Abb. 2 zeigt, ergibt die Projektion dann eine Sinus-Funktion entlang der x-Achse.

Abb. 2: eine sinusförmige Schwingung entlang der x-Achse.

Wie weit können Messwerte vom Mittelwert abweichen?

Wenn wir eine Größe oft gemessen haben, möchten wir statt allen Messwerten einfach einen typischen Wert angeben. Wie groß ist z.B. das typische Einkommen aller Österreicher? Oft wird dafür das arithmetische Mittel $\bar{x}$ verwendet, das eigentlich der Schwerpunkt der Messwerte ist. (Wie weit Mittelwert und Median voneinander abweichen können, wird hier diskutiert.)

Die einzelnen Messwerte streuen mehr oder weniger weit um diesen Mittelwert. Ein Maß für die Streuung ist die Standardabweichung $s_n$ . Als typischer Bereich der Werte wird oft das Intervall $[\bar{x}-s_n;\bar{x}+s_n]$ verwendet.

Aber wie viele Werte sind wirklich in diesem Bereich bzw. wie weit können die Messwerte überhaupt vom Mittelwert abweichen? Wie wir sehen werden, ist $[\bar{x}-\sqrt{2}\,s_n;\bar{x}+\sqrt{2}\,s_n]$ der Bereich, in dem garantiert mindestens die Hälfte der Messwerte liegt. Und typisch kann ja nur etwas sein, was zumindest für die Hälfte zutrifft. Darüber hinaus liegen sicher alle n Messwerte im Intervall $[\bar{x}-\sqrt{n-1}\cdot s_n;\bar{x}+\sqrt{n-1}\cdot s_n]$ .

Malen mit Zahlen, Teil 1 – Warum funktioniert das Lochkameramodell so gut?

Zwischendurch ein kleine Abschweifung in die geometrische Optik, die für Rasterung/Schattierung und Raytracing gleichermaßen zutrifft.

In Teil 0 haben wir die (inverse) Lochkamera besprochen und wie man damit perspektivische Abbildungen erzeugen kann. Wir sehen die Welt aber mit unseren Augen, die keine Lochkameras sind, sondern eine Linse haben. Ebenso haben (Film-)Kameras mehr oder weniger aufwendige Linsensysteme. Warum funktioniert unser Lochkameramodell dann so gut?