Komplexe Zahlen, Teil 6b – die allgemeine Sinus-Funktion

Im letzten Teil haben wir gesehen, wie rotierende Zeiger mit der Sinus-Funktion zusammenhängen. Wir konnten die Kreisfrequenz \omega, die Amplitude A, die Phase \varphi oder den Mittelwert m vorgeben.

Oder wir geben alle vier Parameter gleichzeitig vor, was uns zur allgemeinen Sinus-Funktion

\Im\left(\underline{A}e^{\underline{i}\omega t} + m\underline{i}\right) = \Im\left(A e^{\underline{i} (\omega t + \varphi)} + m\underline{i}\right) = A\sin(\omega t + \varphi) + m

führt. Ein Beispiel dafür zeigt Abb. 1.

ZeigerAllgSin
Abb. 1: allgemeine Sinus-Funktion mit Amplitude A = 2, Kreisfrequenz \omega, Phase \varphi = \tau/8 = 45^\circ und Mittelwert m = 1.

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Komplexe Zahlen, Teil 6 – rotierende Pfeile (Zeiger) und trigonometrische Funktionen

Bisher haben wir nur zeitlich fixierte Pfeile in der Ebene betrachtet. Ab jetzt lassen wir sie mit konstanter Geschwindigkeit rotieren – wodurch sie zu Zeigern werden.

Der Pfeil e^{\underline{i}\,\alpha} hatte die Länge (den Betrag) 1 und den Winkel \alpha gegen die reelle Achse \Re (s. Abb. 1). Wenn der Winkel \alpha linear mit der Zeit t zunimmt, kann man ihn als zeitlich veränderlichen Bruchteil der vollen Umdrehung \tau = 2\pi auffassen:

\displaystyle\alpha = \frac{t}{T} \cdot \tau = \frac{\tau}{T} \cdot t .

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Abb. 1: Ein Pfeil mit fixem Winkel \alpha = \tau/8 = 45^\circ (links) und ein Zeiger, dessen Winkel linear mit der Zeit zunimmt (rechts). Der mathematisch positive Drehsinn ist gegen den Uhrzeigersinn.

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Division ist Multiplikation mit dem Kehrwert

Als HTL-Lehrer unterrichte ich Schüler ab dem 14. Lebensjahr. Davor ist im Mathematik-Unterricht schon einiges passiert – aus meiner Sicht ist nicht alles davon zum Vorteil der Schüler.

Die Mystifizierung des °-Zeichens und daraus folgende, unnötig komplizierte Formeln für Kreisbögen etc., habe ich schon angesprochen. Ähnliches gilt für die Prozentrechnung (dazu später mehr).

Hier soll es jetzt um die Bruchrechnung – speziell die Division durch Brüche – gehen.

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Was sind reelle Zahlen?

Zeichenketten und Pfeile

In der Schule lernen wir reelle Zahlen als Dezimalzahlen mit indo-arabischen Ziffern zu schreiben. Z.B. fünfhundertsiebenundzwanzig-einhalb schreiben wir als

527.5 .

Für negative Zahlen setzen wir noch einen kleinen Querstrich (ein Minus) vor die Zahl, z.B. minus siebenhundertsechsunddreißig-einachtel:

-736.125 .

Dezimalzahlen sind Zeichenketten aus den möglichen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, einem Dezimalkomma ».« (oder »,«), und einem eventuellen Vorzeichen (+/-). Diese Zeichenketten können unendlich lang werden (und müssen es für die meisten Zahlen auch sein).

Im 1. Teil über komplexe Zahlen haben wir gesehen, dass man reelle Zahlen aber auch als Pfeile entlang einer Geraden zeichnen kann (s. Abb. 1) – jeder Dezimalzahl entspricht dabei genau ein Pfeil und umgekehrt.

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Abb. 1: Dieselbe reelle Zahl einmal als Dezimalzahl geschrieben (links) und einmal als Pfeil entlang der reellen Achse gezeichnet (rechts).

Was also sind die reellen Zahlen nun wirklich?

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Winkel und ihre Messung

In der Schule misst man Winkel üblicherweise in Grad (°). Aber warum entspricht eine volle Umdrehung eigentlich 360°? Mit Sicherheit kann das heute niemand mehr sagen. Man weiß nur, dass schon die antiken Astronomen damit gearbeitet haben. Möglicherweise liegt es daran, dass 360 ungefähr gleich der Anzahl der Tage in einem Jahr ist und viele Teiler hat. Jedenfalls ist es eine völlig willkürliche Festlegung. Ebenso willkürlich war die Festlegung auf 400 gon nach der Französischen Revolution.

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Konfidenzintervalle für den Mittelwert der Grundgesamtheit

Wenn man sich für eine bestimmte Eigenschaft X einer (großen) Grundgesamtheit interessiert, könnte man natürlich hergehen, und sie tatsächlich für alle Angehörigen der Grundgesamtheit messen. Man könnte also z.B. bei jeder Schweißnaht prüfen, bei welcher Kraft sie wirklich reißt, oder jede Woche alle Wähler befragen, wen sie denn wählen möchten, oder …

Wie die obigen Beispiele zeigen, kann man das, was man von Allen wissen will, praktisch eben nicht immer an Allen messen.

Vielleicht ist das Messverfahren zerstörend, oder es ist zu teuer, oder man ist einfach zu faul. In solchen Fällen zieht man eine (kleine) Stichprobe aus der Grundgesamtheit und macht die Messungen nur in dieser Probe. Die Preisfrage lautet jetzt natürlich: Was können wir aus unseren Ergebnissen in der Stichprobe über die Grundgesamtheit aussagen?

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Komplexe Zahlen, Teil 5 – Rechnen in kartesischer Darstellung

In Teil 1 und Teil 4 haben wir verschiedene geometrische Darstellungen von komplexen Zahlen kennengelernt und auch, wie man damit Rechnungen »konstruktiv« durchführen kann.

In Teil 3 haben wir uns mit den verschiedene algebraische Darstellungen beschäftigt. Jetzt ist es an der Zeit mit den komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung schriftlich zu rechnen.

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Komplexe Zahlen, Teil 4 – eine alternative geometrische Darstellung

In Teil 1 haben wir eine möglich geometrische Darstellung von reellen Zahlen als Pfeile entlang der reellen Achse gesehen. Diese ließ sich auf Pfeile in der Ebene erweitern und führte so zu den komplexen Zahlen.

Diese Pfeile passen gut zur kartesischen Darstellung aus Teil 3. Dort haben wir auch die Polardarstellung kenngelernt, die in gewissem Sinn zur kartesischen »komplementär« ist. Hier werden wir uns die entsprechende geometrische Darstellung überlegen.

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Komplexe Zahlen, Teil 3 – die verwirrende Vielfalt algebraischer Darstellungen

In Teil 1 haben wir komplexe Zahlen als Pfeile in der Ebene kennengelernt. Mit Hilfe geometrischer Konstruktionen konnten wir mit diesen Pfeilen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Zum praktischen Rechnen benötigen wir jetzt eine algebraische Darstellung mit entsprechenden Rechenregeln. Leider gibt es mehrere solche Darstellungen …

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Komplexe Zahlen, Teil 2 – Multiplikation, Drehung und die Eulersche Formel

Im 1. Teil haben wir gesehen, dass die Multiplikation komplexer Zahlen eine Drehstreckung der entsprechenden Pfeile ist. Wie Abb. 1 zeigt, wird aus der Drehstreckung eine einfache Drehung, wenn einer der Pfeile die Länge 1 hat.

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Abb. 1: Der Pfeil \underline{R}_\alpha hat die Länge 1 und den Winkel \alpha zur positiven reellen Achse (links). Multipliziert man einen beliebigen Pfeil \underline{z} mit \underline{R}_\alpha, wird \underline{z} einfach um den Winkel \alpha gedreht (rechts).

Das haben wir schon bei der Multiplikation des Pfeils \underline{i} mit sich selber gesehen, um \underline{i}^2 = -1 zu erhalten.

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