Das Geheimnis der Prozentrechnung

Die Prozentrechnung wird oft als schwierig befunden. Vielleicht auch deshalb, weil verschiedene Dinge miteinander vermischt werden.

Da ist zunächst einmal ein spezielles %-Zeichen. Aber das Einzige, was wir dazu wissen müssen, ist:

Das %-Zeichen ist die multiplikative Konstante 1 / 100 = 0.01 .

Rechnen mit dem %-Zeichen

Das heißt z.B.:

100\,\% = 100 \cdot \frac{1}{100} = 1 ,

-50\,\% = -50 \cdot \frac{1}{100} = -0.50 ,

10872\,\% = 10872 \cdot \frac{1}{100} = 108.72 .

Umgekehrt ändert sich eine Zahl nicht, wenn wir sie mit 1 = 100\,\% multiplizieren. Z.B.

\frac{1}{4} = 0.25 = 0.25 \cdot 1 = 0.25 \cdot 100\,\% = 25\,\% ,

-2.17 = -2.17 \cdot 1 = -2.17 \cdot 100\,\% = -217\,\% ,

0.00089 = 0.00089 \cdot 1 = 0.00089 \cdot 100\,\% = 0.089\,\% .

Mit dem %-Zeichen haben wir eine weitere Möglichkeit, ein und dieselbe Zahl unterschiedlich zu schreiben:

\frac{1}{2} = 0.5 = 50\,\% .

Grundwert, Anteil und Bruchteil

In einer Schule mit 1000 Schülern wird es mehr sehr gute Schüler geben als in einer Schule mit nur 330 Schülern. Diese Tatsache wird wenige verwundern. Ist die erste Schule also besser als die zweite? Um das zu beantworten beziehen wir die Anzahl der sehr guten Schüler (den Anteil A) auf die Gesamtzahl aller Schüler einer Schule (den Grundwert G).

Nehmen wir an, in der ersten Schule gäbe es 132 sehr gute Schüler und in der zweiten nur 43. Dann bekommen wir die Bruchteile (bzw. relativen Häufigkeiten)

\displaystyle p_1 = \frac{A_1}{G_1} = \frac{132}{1000} = 0.132 = 13.2\,\%

und

\displaystyle p_2 = \frac{A_2}{G_2} = \frac{43}{330} \approx 0.130 = 13.0\,\% .

Obwohl die absoluten Zahlen sehr guter Schüler sehr unterschiedlich sind, sind die Bruchteile fast gleich. Warum? Es gibt zwar ungefähr 3-mal so viele sehr gute Schüler in Schule 1 wie in Schule 2, aber auch ungefähr 3-mal so viele Schüler gesamt. Wenn wir Anteil durch Grundwert dividieren, kürzt sich dieser Faktor 3 weg.

Bei unterschiedlichen Grundwerten ist es also sinnvoller die Bruchteile zu vergleichen und nicht die Anteile (und selbst das kann schiefgehen).

Bruchteile können, müssen aber nicht in Prozent angegeben werden:

Es gibt de facto keinen Unterschied zwischen Bruchteil (relative Häufigkeit) und Prozentsatz – es ist dieselbe Zahl unterschiedlich hingeschrieben.

Sinnlos komplizierte Formeln

Wie schon bei der Winkelmessung gibt es auch hier viele Varianten derselben Formel, die genau dasselbe aussagen. Es reicht, sich z.B.

\displaystyle p = \frac{A}{G}

zu merken. Alle anderen Varianten folgen daraus durch Formelumformung.

Völlig sinnlos wird es, wenn dann noch durch 100\,\% = 1 dividiert oder mit 100\,\% = 1 multipliziert wird, z.B.:

\displaystyle p = \frac{A}{G} \cdot 100\,\% .

Das ist zwar gut gemeint, verkompliziert aber selbst die einfachsten Dinge.

Zu-/Abnahme

Ein Preis von 20 $ (das €-Zeichen ist in WordPress-LaTeX schwierig) wird um 5\,\% erhöht. Der Grundwert ist der Ausgangspreis G = 20\,\$. Die Zunahme ist der Anteil A = 5\,\% \cdot 20\,\$ = 0.05 \cdot 20\,\$ = 1\,\$. Der neue Preis ist also 20\,\$ + 1\,\$ = 21\,\$. Oder etwas anders geschrieben:

20\,\$ + 0.05 \cdot 20\,\$ = (1+ 0.05) \cdot 20\,\$ = 1.05 \cdot 20\,\$ .

Zu den 100\,\% Ausgangspreis werden 5\,\% davon dazu addiert. Wir haben daher 105\,\% des Ausgangspreises, und 105\,\% = 1.05.

Wenn etwas um den Bruchteil p zu- bzw. abnimmt, müssen wir den Ausgangswert mit (1 + p) bzw. (1 – p) multiplizieren.

Wenn hintereinander Änderungen stattfinden, muss man aufpassen, dass sich die Grundwerte ändern. Wenn z.B. der Wert einer Aktie im 1. Jahr um 5\,\% zunimmt und im 2. Jahr um 4\,\% abnimmt, um wie viel Prozent hat er sich dann insgesamt geändert? Die 5\,\%-Zunahme bezieht sich auf den Ausgangswert, die 4\,\%-Abnahme hingegen auf den Wert nach dem 1. Jahr. Wir haben also

W_1 = (1 + 5\,\%) \cdot W_0    und    W_2 = (1 - 4\,\%) \cdot W_1 ,

wobei W_0W_1 und W_2 die Werte zu Beginn, nach einem und nach zwei Jahren sind. Insgesamt also

\begin{aligned}W_2 &= (1 - 4\,\%) \cdot (1 + 5\,\%) \cdot W_0\\ &= (1 - 0.04) \cdot (1 + 0.05) \cdot W_0\\ &= 0.96 \cdot 1.05 \cdot W_0\\ &= 1.008 \cdot W_0 \end{aligned}

In den zwei Jahren nimmt der Wert um das 0.008-fache des Ausgangswertes zu, also um 0.8\,\%.

Weil

(1 - p) \cdot (1 + p) = 1 - p^2 \neq 1

ist, führt eine Preiserhöhung und anschließende Preissenkung um denselben Prozentsatz nicht zum Ausgangspreis zurück.

Netto- und Bruttopreis

Obige Ungleichung ist auch der Grund, warum der Netto-Preis nicht so einfach aus dem Brutto-Preis berechnet werden kann, wie umgekehrt.

Angenommen, eine Ware kostet netto 70\,\$ und der Umsatzsteuersatz betrage 25\,\%. Der Bruttopreis ist dann

(1 + 25\,\%) \cdot 70\,\$ = 1.25 \cdot 70\,\$ = 87.50\,\$ .

Der Nettopreis ergibt sich jetzt aber nicht durch

(1 - 25\,\%) \cdot 87.50\,\$ = 0.75 \cdot 87.50\,\$ \approx 65.63\,\$ ,

sondern durch

\displaystyle\frac{1}{1 + 25\,\%} \cdot 87.50\,\$ = \frac{1}{1.25} \cdot 87.50\,\$ = 0.8 \cdot 87.50\,\$ = 70\,\$.

Wenn ich 25\,\% = 1/4 zum Nettopreis addieren muss, dann muss ich 20\,\% = 1/5 vom Bruttopreis subtrahieren, um das ursprüngliche Netto zu bekommen. (Ich habe den Umsatzsteuersatz so gewählt, dass einfache Brüche herauskommen.)

2018-06-25: Wenn wir \frac{1}{n} des Nettopreises addieren müssen, um zum Bruttopreis zu kommen, dann müssen wir \frac{1}{n + 1} vom Bruttopreis subtrahieren, um wieder zum Nettopreis zu kommen.

Mittlere Zu-/Abnahme (2018-08-21)

Der Wert einer Aktie ist in 3 Jahren um insgesamt 5.2\,\% gestiegen. Um wieviel hat sich ihr Wert im Mittel in einem Jahr geändert? Einerseits wird der Wert nach 3 Jahren mit 1.052 multipliziert, andererseits 3 Jahre lang jeweils mit x. Das führt auf die Gleichung

x^3 = 1.052

mit der Lösung x = \sqrt[3]{1.052} \approx 1.017. Im Mittel hat sich ihr Wert als jedes Jahr um 1.7\,\% erhöht.

Der Wert einer anderen Aktie ist innerhalb von 4 Jahren um 7.5\,\% gefallen. Wir haben daher die Gleichung

x^4 = 1- 0.075 = 0.925

zu lösen. Im Mittel hat sich ihr Wert jedes Jahr um 1 - \sqrt[4]{0.925} \approx 0.019 = 1.9\,\% verringert.

Absolute und relative Änderung

Die Masse eines leeren Autos betrage 1200\,\text{kg}. Nachdem einige Personen eingestiegen sind, betrage die Gesamtmasse nun 1550\,\text{kg}. Die Differenz

1550\,\text{kg} - 1200\,\text{kg} = 350\,\text{kg}

ist die absolute Änderung. (Immer neuer Wert minus alter Wert.) Beziehen wir diese absolute Änderung auf den Ausgangswert, erhalten wir die relative Änderung

\displaystyle\frac{1550\,\text{kg} - 1200\,\text{kg}}{1200\,\text{kg}} = \frac{350\,\text{kg}}{1200\,\text{kg}} \approx 0.29 = 29\,\%.

Die Masse hat also um etwa 29\,\% zugenommen.

Stimmenanteile

Die Partei X hat bei der letzten Wahl 30\,\% der gültigen Stimmen erhalten. Vier Jahre später waren es nur noch 25\,\%. Das Problem bei diesem Vergleich ist, dass sich sowohl die Gesamtbevölkerung, als auch der wahlberechtigte Anteil, als auch der Anteil der gültigen Stimmen geändert haben. Wenn man nur diese zwei Prozentsätze hat, kann man prinzipiell nicht einmal sagen, bei welcher Wahl die Partei mehr Stimmen bekommen hat.

Um trotzdem von einer Wahl zur nächsten Veränderungen beschreiben zu können, benutzt man den Begriff des Prozentpunkts. In diesem Beispiel hat der Stimmenanteil der Partei X um 5\,\%-Punkte abgenommen.

Man muss sich klar machen, dass es keine Größe gibt, die mit diesen 5\,\%-Punkten sinnvoll multipliziert werden kann.

Diskussion

Das wirklich Schwierige an der Prozentrechnung ist, sich klarzumachen, was sind Grundwert und Anteil. Mein Mathe-Professor hat immer gesagt, man muss sich fragen, so-und-so-viel Prozent wovon?