Standardfehler – Herr Fessa

Angenommen, man hat eine Messgröße, die man durch eine Zufallsvariable $X$ modellieren kann. Der Erwartungswert von $X$ sei $\mu$ und die Standardabweichung sei $\sigma$ .

Misst man diese Messgröße mehrfach, wird man voraussichtlich verschiedene Werte erhalten, deren Streuung durch die Verteilung von $X$ modelliert wird.

Berechnet man den Mittelwert $\bar{x}$ dieser $n$ Messungen, kann man ihn durch die Zufallsvariable $\overline{X}$ modellieren. Wenn die Messungen alle voneinander unabhängig waren, gilt für den Erwartungswert des Mittelwertes

$\mathscr{E}(\overline{X}) = \mathscr{E}(X) = \mu$

und für die Standardabweichung (»Standardfehler«) des Mittelwertes

$\displaystyle\mathscr{S}(\overline{X}) = \frac{\mathscr{S}(X)}{\sqrt{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,.$

Diese Formeln gelten unabhängig von der konkreten Verteilung von $X$ ; die zweite wird oft auch als »Wurzel-n-Gesetz« bezeichnet.

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