Wenn wir ein Signal in eine Fourier-Reihe »entwickeln«, müssen wir herausfinden, welche Frequenzen in diesem Signal stecken. Die Formeln dazu haben wir schon in Teil 3 gesehen. Aber warum funktioniert das – speziell bei gemessenen Signalen – wirklich?
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 7 – wie Signale in Frequenzen zerlegt werden“Schlagwort: Phase
Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums
Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:
,
wobei die Grundkreisfrequenz ist. Für die komplexen Amplituden haben wir
erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.
Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.
Weiterlesen „Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums“Fourier-Reihen, Teil 3 – Die Berechnung des Spektrums
In den ersten beiden Teilen (Teil 1 und Teil 2) haben wir rotierende Zeiger addiert, deren Frequenzen jeweils ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers waren. Die Projektion des Summenzeigers führt zu einer periodischen Funktion, mit einer Periodendauer, die gleich der Periode des langsamsten Zeigers ist.
Jetzt drehen wir die Sache um: Wir haben eine reelle, periodische Funktion s (das Signal; um nicht wieder f für die Funktion und die Frequenz zu verwenden), deren Periodendauer gleich T ist. Entsprechend ist ihre Grundfrequenz und die Grundkreisfrequenz
. (Als Tauist verwende ich wie immer die Kreiskonstante
.) Dieses Signal s wollen wir als die Projektion der Summe rotierender Zeiger
schreiben.
Wie kommen wir nun zu den komplexen Amplituden ?
Fourier-Reihen, Teil 2 – Das Spektrum
In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Projektion der Summe rotierender Zeiger eine periodische Funktion ergeben kann, wenn die Frequenzen der einzelnen Zeiger ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers sind.
In diesem Beitrag werden wir ein paar weitere Beispiele sehen und uns die komplexen Amplituden der einzelnen Zeiger genauer ansehen. Die Menge dieser
einer Funktion f ist das Spektrum von f.
Fourier-Reihen, Teil 1 – Addition rotierender Zeiger
In Teil 6 der Serie über komplexe Zahlen haben wir Zeiger besprochen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis drehen. Die Projektion so eines Zeigers entlang der reellen Achse ergab eine zeitabhängige Funktion – die allgemeine Sinus-Funktion.
Was passiert, wenn wir – wie in Abb. 1 gezeigt – mehrere solche Zeiger addieren? Welche Funktionen ergeben sich aus der Projektion des Summenzeigers?

Komplexe Zahlen, Teil 6b – die allgemeine Sinus-Funktion
Im letzten Teil haben wir gesehen, wie rotierende Zeiger mit der Sinus-Funktion zusammenhängen. Wir konnten die Kreisfrequenz , die Amplitude
, die Phase
oder den Mittelwert
vorgeben.
Oder wir geben alle vier Parameter gleichzeitig vor, was uns zur allgemeinen Sinus-Funktion
führt. Ein Beispiel dafür zeigt Abb. 1.

Komplexe Zahlen, Teil 6 – rotierende Pfeile (Zeiger) und trigonometrische Funktionen
Bisher haben wir nur zeitlich fixierte Pfeile in der Ebene betrachtet. Ab jetzt lassen wir sie mit konstanter Geschwindigkeit rotieren – wodurch sie zu Zeigern werden.
Der Pfeil hatte die Länge (den Betrag) 1 und den Winkel
gegen die reelle Achse
(s. Abb. 1). Wenn der Winkel
linear mit der Zeit
zunimmt, kann man ihn als zeitlich veränderlichen Bruchteil der vollen Umdrehung
auffassen:
.
