März 2018 – Herr Fessa

Im letzten Teil haben wir uns überlegt, wie wir ein periodisches Signal s mit Periodendauer T als Projektion der Summe rotierender Zeiger schreiben können:

$\displaystyle s(t) = \Im\left(\sum_{k=0}^\infty \underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right) = \sum_{k=0}^\infty \Im\left(\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\right)$ ,

wobei $\omega_1 = \tau/T = 2\pi/T$ die Grundkreisfrequenz ist. Für die komplexen Amplituden haben wir

$\underline{A}_k = \begin{cases} \displaystyle \frac{\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k = 0 \text{ ist}\\[3ex] \displaystyle \frac{2\underline{i}}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}} s(t) \cdot e^{-\underline{i}k\omega_1 t} \, \mathrm{d}t & \text{wenn } k > 0 \text{ ist}\end{cases}$

erhalten. Die Integrationsgrenzen sind dabei beliebig, solange immer über genau eine Periodendauer T integriert wird.

Obwohl sich die Schönheit der rotierenden Zeiger nur in der komplexen Sichtweise zeigt, bevorzugen manche eine rein reelle Rechnung. Nicht zuletzt deshalb, weil die Fourier-Reihe in vielen Büchern so angegeben ist. Persönlich finde ich jedoch, dass die Sache dadurch nicht schöner wird.

In den ersten beiden Teilen (Teil 1 und Teil 2) haben wir rotierende Zeiger addiert, deren Frequenzen jeweils ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers waren. Die Projektion des Summenzeigers führt zu einer periodischen Funktion, mit einer Periodendauer, die gleich der Periode des langsamsten Zeigers ist.

Jetzt drehen wir die Sache um: Wir haben eine reelle, periodische Funktion s (das Signal; um nicht wieder f für die Funktion und die Frequenz zu verwenden), deren Periodendauer gleich T ist. Entsprechend ist ihre Grundfrequenz $f_1 = 1/T$ und die Grundkreisfrequenz $\omega_1 = \tau \cdot f_1 = \tau / T$ . (Als Tauist verwende ich wie immer die Kreiskonstante $\tau = 2\pi$ .) Dieses Signal s wollen wir als die Projektion der Summe rotierender Zeiger

$\displaystyle s(t) = \Im\left(\sum_{k=0}^\infty\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1 t}\right) = \sum_{k=0}^\infty\Im\left(\underline{A}_k \cdot e^{\underline{i}k\omega_1 t}\right)$

schreiben.

Wie kommen wir nun zu den komplexen Amplituden $\underline{A}_k$ ?

Monat: März 2018

Fourier-Reihen, Teil 4 – rein reelle Berechnung des Spektrums

Fourier-Reihen, Teil 3 – Die Berechnung des Spektrums