Winkel und ihre Messung

In der Schule misst man Winkel üblicherweise in Grad (°). Aber warum entspricht eine volle Umdrehung eigentlich 360°? Mit Sicherheit kann das heute niemand mehr sagen. Man weiß nur, dass schon die antiken Astronomen damit gearbeitet haben. Möglicherweise liegt es daran, dass 360 ungefähr gleich der Anzahl der Tage in einem Jahr ist und viele Teiler hat. Jedenfalls ist es eine völlig willkürliche Festlegung. Ebenso willkürlich war die Festlegung auf 400 gon nach der Französischen Revolution.

Ein weniger willkürliches Winkelmaß beruht auf der Länge von Kreisbögen (s. Abb. 1). Auf einem um den Winkelscheitel konzentrischen Kreis legt der Winkel einen Kreisbogen fest. Die Länge $b$ dieses Bogens könnten wir als Maß für den Winkel $\alpha$ nehmen.

radian — Abb. 1: Winkel können über die Längen von Kreisbögen gemessen werden.

Leider hängt die Bogenlänge $b$ auch vom Kreisradius $r$ ab. Aber das Verhältnis $b_1 : r_1 = b_2 : r_2$ ist – wie bei ähnlichen Dreiecken – für alle konzentrischen Kreise gleich. Es ist daher sinnvoll, einen Winkel über das Längenverhältnis

$\displaystyle\alpha = \frac{b}{r}$

zu messen. Man nennt es das Bogenmaß von $\alpha$ .

Nachdem hier zwei Längen dividiert werden, kürzen sich alle Einheiten weg und Winkel haben die Einheit 1. Das SI-System sieht für die Zahl 1 zwei Pseudonyme vor: Radiant (rad; für ebene Winkel) und Steradiant (sr; für Raumwinkel). Welchen Wert diese Pseudonyme haben sollen, entzieht sich mir völlig.

Für eine Umdrehung wird die Bogenlänge gleich dem Kreisumfang $U$ ; der entsprechende volle Winkel ist im Bogenmaß daher

$\displaystyle\frac{U}{r} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi = 6.2831\!\dotso$ .

Der Nachteil des Bogenmaßes ist, dass – außer den Winkeln 0, 1 (57.3°), 2 (114.6°), 3 (171.9°), 4 (229.3°), 5 (286.5°) und 6 (343.8°) – alle Winkel krumme Dezimalzahlen sind.

Diese krummen Zahlen lassen sich leichter interpretieren, wenn wir Winkel als Teile oder Vielfache einer Umdrehung τ = 2π angeben. Das Tau ist eine Abkürzung für das englische turn.

Weil τ und 360° für denselben Winkel stehen, können wir das °-Zeichen als versteckte Multiplikation mit τ / 360 sehen:

Das °-Zeichen ist einfach die multiplikative Konstante
τ / 360 = π / 180 = 0.017 453 292 … ,
genauso wie das %-Zeichen die multiplikative Konstante
1 / 100 = 0.01 ist.

Dann gilt etwa

$\displaystyle 60^\circ = 60 \cdot \frac{\tau}{360} = \tfrac{1}{6}\tau = 1.0471\!\dotso$ ,

d.h. 60° ist ein Sechstel einer Umdrehung. Umgekehrt haben wir z.B.

$\displaystyle2.5 = 2.5 \cdot \underbrace{\frac{360}{\tau} \cdot \frac{\tau}{360}}_{{}=1} = 143.2394\!\dotso \cdot \frac{\tau}{360} \approx 143.2^\circ$ ,

bzw. als Teil einer Umdrehung

$\displaystyle 2.5 = 2.5 \cdot \underbrace{\frac{1}{\tau} \cdot \tau}_{{}=1} = 0.3978\!\dotso \cdot \tau \approx 0.40\tau$ ;

der Winkel 2.5 ist also ungefähr 4 / 10 einer vollen Umdrehung. Für den Einheitswinkel im Bogenmaß gilt

$1 \approx 0.16\tau \approx 57.3^\circ$ .

Sinnlos komplizierte Formeln

Aus der obigen Winkeldefinition folgt für die Bogenlänge die einfache Formel

$b = r \cdot \alpha$ ,

wobei wir ein allfälliges °-Zeichen beim Winkel durch die Multiplikation mit π / 180 ersetzen (s. das Bsp. weiter unten). In manchen Büchern und Formelsammlungen wird diese einfache Multiplikation ignoriert und man erhält dann Formelungetüme wie

$\displaystyle b = 2 \pi r \cdot \frac{\alpha^\circ}{360^\circ}$ ,

die einem die Tränen in die Augen treiben.

Das Problem der Taschenrechner

Die meisten Taschenrechner der TI-30-Klasse können zwischen den Winkelmodi Gradmaß (DEG), Bogenmaß (RAD) und Gonmaß (GRD) umschalten. Dabei wird im DEG-Modus die Eingabe $\sin(30)$ tatsächlich als $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$ interpretiert; im RAD-Modus hingegen wird dieselbe Eingabe zu $\sin(30) = -0.9880\!\dotso$ berechnet.

Diese implizite Umrechnung ist nicht ganz unpraktisch solange man Winkel nur in Winkelfunktionen verwendet. Wirklich verwirrend wird die Sache, wenn in Formeln Winkel direkt bzw. zusätzlich zu Winkelfunktionen vorkommen.

Z.B. bei der Berechnung der Länge eines Kreisbogens mit Radius $r = 2\,\text{m}$ und Winkel $\alpha = 30^\circ$ . Die Bogenlänge ist dann

$\displaystyle b = r \cdot \alpha = 2\,\text{m} \cdot 30^\circ = 2\,\text{m} \cdot 30 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 1.05\,\text{m}$ .

Tippt man im DEG-Modus 2 * 30 ein, erhält man als Ergebnis allerdings 60 (m), weil der Taschenrechner nicht weiß, dass er eine dieser Zahlen umrechnen soll.

Noch verwirrender wird es z.B. beim Flächeninhalt eines Kreissegments mit Radius $r = 2\,\text{m}$ und Öffnungswinkel $\alpha = 30^\circ$ . Der Flächeninhalt berechnet sich mit

$\displaystyle\begin{aligned}A &= r^2 \cdot \frac{\alpha - \sin(\alpha)}{2} \\ &= (2\,\text{m})^2 \cdot \frac{30^\circ - \sin(30^\circ)}{2} \\ &= (2\,\text{m})^2 \cdot \frac{30 \cdot \frac{\pi}{180} - \frac{1}{2}}{2} = 0.0471\!\dotso\,\text{m}^2 \end{aligned}$ .

Im DEG-Modus kümmert sich der Taschenrechner um die richtige Umrechnung von $\sin(30^\circ)$ , aber nicht um die Umrechnung der $30^\circ$ , die außerhalb stehen.

2018-05-22: Obige Formel zeigt auch, wie sinnlos die Einheit rad für Winkel ist. Im Zähler steht $\alpha - \sin(\alpha)$ . Der Sinus hat als Seitenverhältnis definitiv keine Einheit. Wenn $\alpha$ die Einheit rad hätte, wird z.B. von $(\pi/6)\,\text{rad}$ die Zahl $\sin(\pi/6) = 0.5$ subtrahiert, was absurd ist.

Es wäre von Anfang an besser gewesen, statt den verschiedenen Winkel-Modi nur das Bogenmaß zu verwenden und für das Gradzeichen eine eigene Taste zu haben, die den konstanten Wert $\frac{\pi}{180}=0.0174\!\dotso$ ausgibt. Rechner der TI-nspire-Klasse bieten die Möglichkeit, immer im Bogenmaß zu bleiben, und das °-Zeichen im Fall des Falles direkt einzugeben.

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