Fourier-Reihen, Teil 2 – Das Spektrum

In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Projektion der Summe rotierender Zeiger eine periodische Funktion ergeben kann, wenn die Frequenzen der einzelnen Zeiger ganzzahlige Vielfache der Frequenz des langsamsten Zeigers sind.

In diesem Beitrag werden wir ein paar weitere Beispiele sehen und uns die komplexen Amplituden \underline{A}_k der einzelnen Zeiger genauer ansehen. Die Menge dieser \underline{A}_k einer Funktion f ist das Spektrum von f.

Spektrum einer sinusförmigen Funktion

Sehen wir uns dazu noch einmal eine sinusförmige Funktion an (s. Abb. 1). Die Periodendauer ist T = 2 s; entsprechend ist die Frequenz f_1 = 1/T = 0.5\,\text{Hz} und die Kreisfrequenz \omega_1 = \tau \cdot f_1 \approx 3.14\,\text{s}^{-1}. Ihre Amplitude ist A = 2, und sie ist zeitlich um \Delta t = T/4 = 0.5\,\text{s} verschoben. Daher ist ihre Phase \varphi = -\omega_1 \cdot \Delta t = -\tau/4.

2018-02-10: Warum f_1 für die Grundfrequenz? Weil alle Frequenzen ganzzahlige Vielfache davon sein sollen, also 1 \cdot f_1, 2 \cdot f_1, 3 \cdot f_1, \dotsc. Und daher ist die Grundfrequenz 1 \cdot f_1 = f_1.

AnimCos-2
Abb. 1: Eine sinusförmige Funktion mit Periodendauer T = 2 s, Frequenz f_1 = 0.5\,\text{Hz}, Amplitude A = 2 und Phase \varphi = -\tau/4. Die Punkte entlang des Kreises haben wieder einen Zeitabstand von 0.02 s.

Man kann diese Funktion f folgendermaßen schreiben:

\displaystyle\begin{aligned}f(t) &= \Im\left(-2\underline{i}e^{\underline{i}\omega_1 t}\right) = \Im\left(2e^{-\underline{i} \tau/4}e^{\underline{i}\omega_1 t}\right)\\ &= 2 \sin\left(\omega_1 t - \tfrac{\tau}{4}\right) = -2 \cos\left(\omega_1 t\right)\end{aligned} .

Wenn wir wissen, dass es sich um eine sinusförmige Funktion handelt, reichen zur vollständigen Beschreibung die Frequenz f_1 und die komplexe Amplitude \underline{A} = -2\underline{i} = 2e^{-\underline{i}\tau/4} aus. Das Spektrum besteht hier aus genau einer komplexen Zahl.

Es ist üblich, die Beträge der komplexen Amplituden – die Amplituden schlechthin – und deren Phasen separat gegen die Frequenz aufzutragen. Man erhält so das Amplituden- bzw. Phasenspektrum (s. Abb. 2). Für eine sinusförmige Funktion haben wir nur eine Frequenz deren Amplitude ungleich 0 ist. Die Amplituden bei den ganzzahligen Frequenzvielfachen sind 0.

SpektCos-2
Abb. 2: Amplituden- (oben) und Phasenspektrum (unten) der sinusförmigen Funktion aus Abb. 1. Der Abstand von einer Frequenz zur nächsten ist \Delta f = f_1 = 0.5\,\text{Hz}.

In Abb. 2 und den folgenden Spektren sind Frequenzen, deren Amplituden exakt 0 sind durch helle Punkte gekennzeichnet. Die Phasen für diese Frequenzen können beliebig gewählt werden, meist nimmt man einfach auch 0.

Spektrum einer fast sinusförmigen Funktion

Eine fast sinusförmige Funktion zeigt Abb. 3, nämlich eine Dreieckschwingung. Diese lässt sich nicht mehr durch die Projektion nur eines rotierenden Zeigers beschreiben. Wir haben jetzt einen relativ großen Zeiger, der mit der Grundfrequenz 0.5 Hz rotiert. Um die Spitzen zu erhalten benötigen wir viele sehr kleine Zeiger, die sich schneller drehen. Mit den 18 Bildern/Sekunde der Animation sieht das so aus, als würde der Summenzeiger über die Spitzen springen.

2018-02-10: Jeder Zeiger hat eine Frequenz und eine Periodendauer. Die Summenfunktion hat aber nur eine Periode T = T_1 = 1/f_1. Daher macht es wenig Sinn, die anderen Periodendauern explizit zu erwähnen.

AnimDreieck-2
Abb. 3: Eine Dreieckschwingung mit Periodendauer T = 2 s, Grundfrequenz f_1 = 0.5\,\text{Hz} und Gesamtamplitude 2. Gezeigt ist die Summe bis zur 20-fachen Grundfrequenz (10 Hz). Auch hier haben die Punkte den Abstand 0.02 s.

Das zur Dreieckschwingung gehörende Spektrum zeigt Abb. 4. Aufgrund der Ähnlichkeit mit der -\cos-Schwingung aus Abb. 1 dominiert die Grundfrequenz das Spektrum. Die Amplituden der höheren Frequenzen werden sehr schnell klein und sind indirekt proportional zum Quadrat der Frequenz. Die Amplituden aller geradzahligen Vielfachen von f_1 sind alle Null – sie sind aber trotzdem Teil des Spektrums!

SpektDreieck-2
Abb. 4: Amplituden- und Phasenspektrum der Dreieckschwingung aus Abb. 3. Die Grundfrequenz ist f_1 = 0.5\,\text{Hz} und die Amplituden der ungeraden Frequenzvielfachen sind indirekt proportional zum Quadrat der Frequenz f (strichlierte Kurve).

Für große Frequenzen gehen die Amplituden also gegen 0. Das wird man im Allgemeinen für alle konvergenten Fourier-Reihen erwarten. Je schneller sie gegen 0 gehen, desto sinusförmiger die Funktion.

Spektrum von Sägezahn- und Rechteckfunktion

Im 1. Teil haben wir schon das Beispiel der Sägezahnfunktion mit fallenden Flanken aus Abb. 5 gesehen. Dafür haben wir willkürlich bei der k-fachen Grundfrequenz die Amplitude 1/k gewählt. In Abb. 5 ist die Summe nur bis zur 6-fachen Grundfrequenz gezeigt, weil die Summenkurve rechts von der imaginären Achse sonst zu groß geworden wäre. Bei t = 0 (und jede ganze Periode später) hätte der Summenzeiger die Länge

\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} .

Das ist die divergente harmonische Reihe – der Zeiger wäre also unendlich lang. Trotzdem ergibt sich in der Projektion kein Problem, weil sein Imaginärteil 0 ist.

AnimSawTooth6
Abb. 5: Sägezahnfunktion mit fallender Flanke. Periodendauer T = 2 s, Grundfrequenz f_1 = 0.5\,\text{Hz} und Gesamtamplitude \tau/4. Gezeigt ist die Summe bis zur 6-fachen Grundfrequenz (3 Hz). Punktabstand 0.02 s.

Das Spektrum der Sägezahnfunktion zeigt Abb. 6. Die Amplituden sind indirekt proportional zur Frequenz und nehmen daher nur langsam ab. Der Grund dafür sind die Sprünge in der Funktion.

SpektSawTooth
Abb. 6: Das Spektrum der Sägezahnfunktion aus Abb. 5. Die Amplituden sind indirekt proportional zur Frequenz f und nehmen daher viel langsamer ab, als für die Dreieckschwingung. Die Grundfrequenz ist f_1 = 0.5\,\text{Hz}.

Preisfrage: Was müssten wir tun, wenn wir statt fallender gerne steigende Flanken des Sägezahns hätten?

Die Funktion müsste an der Zeitachse gespiegelt, also mit -1 multipliziert werden. Eine Multiplikation mit -1 dreht aber alle Phasen um \tau/2 = 180^\circ vor. (Mit dieser Idee sind wir überhaupt erst zu den komplexen Zahlen gekommen.) Das Amplitudenspektrum bleibt daher völlig gleich, es ändert sich nur das Phasenspektrum. Dass das tatsächlich so einfach funktioniert, zeigen die Abb. 7 und 8.

AnimSawToothB
Abb. 7: Sägezahnfunktion mit steigender Flanke. Periodendauer T = 2 s Grundfrequenz f_1 = 0.5\,\text{Hz} und Gesamtamplitude \tau/4. Gezeigt ist die Summe bis zur 6-fachen Grundfrequenz (3 Hz). Punktabstand 0.02 s.
SpektSawToothB
Abb. 8: Das Spektrum der Sägezahnfunktion aus Abb. 7. Das Amplitudenspektrum ist gleich geblieben, geändert haben sich nur die Phasenlagen.

Was passiert, wenn man beim Sägezahn alle Amplituden der geraden Frequenzvielfachen auf 0 setzt? Dann kommt eine weitere interessante Funktion heraus, nämlich die Rechteckfunktion aus Abb. 9. Auch hier wurde aus Platzgründen – diesmal links und rechts von der imaginären Achse – nur ein paar Frequenzen addiert, weshalb die Summe noch etwas »zittert«.

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Abb. 9: Rechteckfunktion mit Periodendauer T = 2\,\text{s}, Grundfrequenz f_1 = 0.5\,\text{Hz} und Gesamtamplitude \tau/8. Gezeigt ist die Summe bis zur 12-fachen Grundfrequenz (6 Hz). Punktabstand 0.02 s.

Das Spektrum in Abb. 9 unterscheidet sich nur durch die fehlenden Amplituden von dem der Sägezahnfunktion.

SpektRechteck12
Abb. 10: Das Spektrum der Rechteckfunktion aus Abb. 9. Die Amplituden aller geraden Vielfachen der Grundfrequenz sind 0.

Hätten wir stattdessen die Amplituden der ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz auf Null gesetzt, wäre eine kleinere Sägezahnfunktion mit doppelter Frequenz herausgekommen.

Weitere Beispiele

Ein Einwegleichrichter unterdrückt die negative Halbwelle einer sinusförmigen Spannung. Ohne Glättung sieht die Ausgangsspannung aus wie in Abb. 11. Nachdem die Funktion nicht negativ werden soll, können sich die Kreise jetzt nicht um den Ursprung drehen. Stattdessen ist der Mittelpunkt durch einen konstanten Pfeil auf der imaginären Achse nach oben geschoben. Weil er sich nicht dreht, können wir diesem Pfeil die Frequenz 0 zuordnen – und nennen ihn den Gleichanteil (er wird sich im nächsten Teil als Mittelwert der Funktion erweisen).

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Abb. 11: Eine Sinus-Schwingung deren negative Halbwelle unterdrückt wurde. Die Periodendauer ist T = 2 s, die Grundfrequenz f_1 = 0.5\,\text{Hz} und die Gesamtamplitude 2. Gezeigt ist die Summe bis zur 10-fachen Grundfrequenz (5 Hz). Punktabstand 0.02 s.

Damit ergibt sich das Spektrum in Abb. 12. Die Amplituden der Oberschwingungen gehen im Wesentlichen wieder mit dem Quadrat der Frequenz gegen 0. Die Amplitude der Grundschwingung passt jedoch nicht in dieses einfache Muster, weil für f \to f_1 die strichlierte Kurve gegen Unendlich geht.

SpektHalfSin
Abb. 12: Das Spektrum einer Sinusschwingung mit unterdrückter negativer Halbwelle aus Abb. 11.

Nachdem man eine Funktion nach oben bzw. unten schieben kann, ohne ihre sonstige Form irgendwie zu ändern, ist der Gleichanteil A_0 vom Verhalten der anderen Amplituden völlig unabhängig. Ist die Funktion nach oben geschoben, ist die Phase des Gleichanteils \varphi_0 = +\tau/4 = +90^\circ. Bei einer Verschiebung ins negative wird auch die Phase des Gleichanteils negativ: \varphi_0 = -\tau/4 = -90^\circ.

Ein Vollweggleichrichter lässt die negative Halbwelle nicht weg, sondern »klappt sie nach oben« (s. Abb. 13). Dadurch halbiert sich allerdings die Periodendauer und die Grundfrequenz wird verdoppelt.

AnimAbsSin
Abb. 13: Durch die Gleichrichtung der negativen Halbwelle hat sich die Periodendauer auf T = 1 s halbiert und die Grundfrequenz auf f_1 = 1\,\text{Hz} verdoppelt. Die Gesamtamplitude bleibt bei 2. Gezeigt ist die Summe bis zur 10-fachen Grundfrequenz (10 Hz). Punktabstand 0.02 s.

Verglichen mit dem Einweggleichrichter ist damit auch der Abstand der Frequenzen im Spektrum (Abb. 14) verdoppelt. Die problematische Frequenz f = f_1/2 kommt dadurch gar nicht erst vor.

SpektAbsSin
Abb. 14: Das Spektrum einer gleichgerichteten Sinusschwingung aus Abb. 13.

Diskussion

Wir können periodische Funktionen wie gewohnt als Funktion der Zeit darstellen. Wir können aber auch einen neuen Blickwinkel einnehmen und ihr Spektrum (Amplitude und Phase) als Funktion der Frequenz betrachten. Für die meisten in Physik und Technik interessanten Funktionen sind diese beiden Betrachtungsweisen äquivalent. Das Zeit- und Frequenzbild sind gewissermaßen zwei Seiten einer Medaille; man nennt Zeit und Frequenz daher auch konjugiert zueinander (genauer: die mit der Frequenz zusammenhängende Energie ist die zur Zeit konjugierte Größe).

Was bringt das Frequenzbild dann überhaupt? Was wir aus dem bisher Gezeigten schon sagen können, ist das Folgende: Ein lineares System zur Signalverarbeitung erzeugt aus der Summe zweier Signale auch die Summe der entsprechenden Ausgangssignale. Von so einem System reicht es uns zu wissen, wie es auf sinusförmige Signale beliebiger Frequenz reagiert. Damit alleine können wir schon sagen, wie irgendein periodisches Signal verarbeitet wird.

Außerdem gibt es in der Natur Vorgänge, die de facto Signale in ihr Spektrum zerlegen. Das Beispiel schlechthin ist das Regenbogenspektrum von weißem Licht, welches z.B. durch ein Strichgitter erzeugt wird (s. Abb. 15). Hier werden die Anteile nach ihrer Farbe (Frequenz) sortiert.

Gitter
Abb. 15: Weißes Licht wird durch ein Gitter in die Spektralfarben zerlegt. (Zugegeben, kein photographisches Meisterwerk …)

Das zweite Beispiel aus der Natur ist das (menschliche) Gehör. In der Schnecke im Innenohr befindet sich das Corti-Organ, das das Schallsignal in Nervenimpulse umwandelt. Aufgrund der Form der Basilarmembran beginnen je nach Schalfrequenz unterschiedliche Haarzellen im Corti-Organ zu schwingen, sodass das Gehirn je nach Frequenz unterschiedliche Signale empfängt. In grober Näherung zerlegt das Gehör Schallwellen in ihr Frequenzspektrum. Im Detail sind die Vorgänge komplizierter, sonst würden wir eine Schwebung nicht als periodisch lauter/leiser werdenden Ton hören, sondern als zwei getrennte Töne gleicher Lautstärke.

Im nächsten Teil wird es darum gehen, wie man aus einer gegebenen Funktion das Spektrum ausrechnen kann.