Fourier-Reihen, Teil 8 – von der Reihe zur Fourier-Transformation

Periodische Signale s können wir in ihre einzelnen Frequenzanteile zerlegen und damit in eine Fourier-Reihen entwickeln. Wie wir in Teil 3 gesehen haben, erhalten wir das Transformations-Paar

\displaystyle s(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\quad\text{und}\quad\underline{S}_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}s(t)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t}\,\mathrm{d}t ,

wobei T die Periodendauer des Signals ist. Von den komplexe Fourier-Koeffizienten \underline{S}_k gibt es abzählbar unendlich viele, jeweils beim k-fachen der Grundkreisfrequenz \omega_1=\tau/T (es gilt \tau=2\pi). Für rein reelle Signale brauchen wir die Koeffizienten nur für k\geq0 berechnen, weil \underline{S}_{-k}=\underline{S}_k^* ist.

In diesem Teil soll es nun speziell um die nicht-periodischen Signale gehen. Wir werden sehen, dass es da auch so ein Transformations-Paar gibt. Abzählbar unendlich viele Koeffizienten reichen dafür aber nicht mehr aus.

Unendlich lange Periodendauer

Wie kommen wir zu nicht-periodischen Signalen? Die Idee ist, dass wir ein Signal mit sehr sehr langer Periodendauer nicht als periodisches Signal erkennen können. Wenn die Periodendauer eine Billion mal so lang wie das Alter des Universums ist, bekommt niemand von uns etwas von dieser Periodizität mit. Unser Signal ist einfach ein kleiner Ausschnitt aus einer Periode.

Wir könnten also ein beliebiges, für uns interessantes Signal nehmen und nach sehr langer Zeit wiederholen, sodass wir von der Wiederholung nichts mehr mitbekommen. Mathematisch bedeutet das, dass wir uns den Grenzwert T\to\infty anschauen müssen. Wie viele Grenzwerte hat der so seine Tücken, wir werden aber relativ unbefangen damit umgehen.

Schauen wir uns die Sache anhand des Signals in Abb. 1 an. Wir beginnen mit einer Periodendauer T=0.5\,\text{s}, wo ein Sinusbogen direkt auf den anderen folgt. Darunter ist das einseitige Spektrum der Fourier-Koeffizienten gezeigt, das wir schon in Teil 3 kennengelernt haben.

Abb. 1: Wie sich das einseitige Spektrum der Fourier-Koeffizienten ändert, wenn die Periodendauer immer größer wird. Oben: unser Signal mit zunehmender Periodendauer. Unten: das entsprechende Spektrum.

Wenn wir die Periodendauer T erhöhen, wandern die einzelnen Sinusbögen auseinander, bis nur noch ein einzelner übrig bleibt. Gleichzeitig kommen die Frequenzen im Spektrum immer näher zusammen, weil Grundfrequenz f_1 und Frequenzabstand \Delta f gleich

\displaystyle f_1=\Delta f=\frac{1}{T}

sind.

Weiters fällt auf, dass mit zunehmender Periodendauer die Fourier-Koeffizienten immer kleiner werden. Das liegt daran, dass sich im Großteil unserer Periodendauer signalmäßig nicht viel tut, und das Integral in den Fourier-Koeffizienten daher immer einen endlichen Wert liefert, der aber dann durch die Periodendauer dividiert wird. Im Grenzfall T\to\infty werden die Fourier-Koeffizienten alle Null. Das ist deshalb schlecht, weil es für viele andere interessante Signale auch passiert.

Das Problem ist offenbar die Division durch T. Wenn wir auf die verzichten, schauen wir uns de facto T\cdot\underline{S}_k an. Weil die Periodendauer T eine positive Zahl ist, werden nur die Beträge von \underline{S}_k multipliziert. Das Ergebnis zeigt Abb. 2.

Abb. 2: Das Produkt T\cdot\underline{S_k} liegt für alle Periodendauern T auf einer bestimmten Kurve. Das muss die Fourier-Transformierte unserer nicht-periodischen Funktion sein.

Hier passiert etwas interessantes: Nicht nur bleibt das Produkt T\cdot\underline{S}_k annähernd konstant, sondern die Werte liegen für alle möglichen Periodendauern auf einer bestimmten Kurve. Diese Kurve bleibt für beliebig große Periodendauern übrig – also auch, wenn unser Signal nur noch ein einzelner Sinusbogen ist.

Für T\to\infty »überlebt« statt unserer Fourier-Koeffizienten \underline{S}_k das Produkt T\cdot\underline{S}_k; dieses Produkt ist die Fourier-Transformierte \underline{\mathcal{S}} unseres Signals s.

Weil für T\to\infty der Abstand der Kreisfrequenzen \Delta\omega=\frac{\tau}{T}\to0 geht, wird die Fourier-Transformierte \underline{\mathcal{S}}(\omega) eine Funktion beliebiger reeller Kreisfrequenzen \omega – dadurch ergeben sich überabzählbar unendlich viele Werte.

Die Fourier-Transformation

In der obigen Formel für die Fourier-Koeffizienten \underline{S}_k steht der Faktor k\cdot\omega_1, der über alle möglichen Kreisfrequenzen läuft. Im Grenzfall T\to\infty also über alle reellen Kreisfrequenzen \omega überhaupt. Damit erhalten wir die Hintransformation

\displaystyle\underline{\mathcal{S}}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\cdot e^{-\underline{i}\omega t}\,\mathrm{d}t .

Während die Fourier-Koeffizienten \underline{S}_k dieselbe Einheit wie unser Signal s haben, hat die Fourier-Transformierte \underline{\mathcal{S}} die Einheit unseres Signals mal einer Sekunde.

Die Summe für die Rücktransformation müssen wir uns etwas genauer anschauen. Zunächst erhalten wir mit der Definition unserer Fourier-Transformierten \underline{\mathcal{S}}:

\displaystyle\begin{aligned}s(t)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\underline{S}_k\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\\&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\underline{\mathcal{S}}(k\cdot\omega_1)}{T}\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\cdot\frac{\Delta\omega}{\Delta\omega}\,,\end{aligned}

weil \underline{S}_k der Fourier-Koeffizient bei der Kreisfrequenz k\cdot\omega_1 ist. Und mit \Delta\omega/\Delta\omega=1 können wir immer multiplizieren.

Verwenden wir jetzt \Delta\omega=\tau/T und daher 1/\Delta\omega=T/\tau, erhalten wir weiter

\displaystyle\begin{aligned}s(t)&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\underline{\mathcal{S}}(k\cdot\omega_1)}{T}\cdot\frac{T}{\tau}\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\cdot\Delta\omega\\&=\frac{1}{\tau}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\underline{\mathcal{S}}(k\cdot\omega_1)\cdot e^{\underline{i}k\omega_1t}\cdot\Delta\omega\,.\end{aligned}

Für \Delta\omega\to0 geht diese unendliche Summe in ein Integral über, und wir erhalten das Transformations-Paar

\displaystyle\boxed{\begin{aligned}s(t)&=\frac{1}{\tau}\int_{-\infty}^{+\infty}\underline{\mathcal{S}}(\omega)\cdot e^{\underline{i}\omega t}\,\mathrm{d}\omega\\\underline{\mathcal{S}}(\omega)&=\phantom{\frac{1}{\tau}}\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\cdot e^{-\underline{i}\omega t}\,\mathrm{d}t\end{aligned}}

Während für periodische Signale bei der Hintransformation der Faktor 1/T aufgetreten ist, steht hier der Faktor 1/\tau bei der Rücktransformation. Manche Autoren machen Hin- und Rücktransformation symmetrischer, indem sie beide Integrale mit 1/\sqrt{\tau} multiplizieren.

Für ein reelles Signal s gilt weiterhin

\underline{\mathcal{S}}(-\omega)=\underline{\mathcal{S}}(\omega)^* ,

d.h., im zweiseitigen Spektrum sind die Beträge eine gerade Funktion der Kreisfrequenz \omega (weil \lvert\underline{z}^*\rvert=\lvert\underline{z}\rvert ist), und die Phasen sind eine ungerade Funktion (weil \arg(\underline{z}^*)=-\arg(\underline{z}) ist). Für komplexwertige Signale \underline{s} ist das nicht mehr so einfach.

Sondieren mit beliebigen Frequenzen

In Teil 7 haben wir uns angesehen, wie ein Signal bei verschiedenen Frequenzen »sondiert« wird, um die Fourier-Koeffizienten zu ermitteln. Eine Perioden- oder Messdauer des Signals wurde durch Multiplikation mit e^{-\underline{i}k\omega_1 t} mehrfach um den Ursprung verdrillt. Die Fourier-Koeffizienten waren die Mittelwerte

\displaystyle\begin{aligned}\underline{S}_k&=\frac{1}{T}\int_0^Ts(t)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t}\,\mathrm{d}t\\&\approx\frac{1}{T}\sum_{n=0}^{N-1}s(t_n)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t_n}\,\frac{T}{N}\\&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}s(t_n)\cdot e^{-\underline{i}k\omega_1t_n}\,,\end{aligned}

wobei die Abtastzeitpunkte t_n=n\cdot T/N sind.

Hier ist es so ähnlich, aber der Zeiger kann sich mit beliebiger Frequenz drehen (positiv und negativ! – auch wenn die für reelle Signale zusammenhängen). Wenn unser Signal außerhalb des Zeitintervalls [t_b,t_e] gleich 0 ist, können wir die Fourier-Transformierte näherungsweise mit

\displaystyle\begin{aligned}\underline{\mathcal{S}}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t)\cdot e^{-\underline{i}\omega t}\,\mathrm{d}t\\&=\int_{t_b}^{t_e}s(t)\cdot e^{-\underline{i}\omega t}\,\mathrm{d}t\\&\approx\sum_{n=0}^{N-1}s(t_n)\cdot e^{-\underline{i}\omega t_n}\,\frac{t_e-t_b}{N}\\&=\frac{t_e-t_b}{N}\sum_{n=0}^{N-1}s(t_n)\cdot e^{-\underline{i}\omega t_n}\end{aligned}

berechnen, wobei für die Abtastzeitpunkte t_n=t_b+n\cdot(t_e-t_b)/N gilt. Das ist jetzt nicht exakt der Mittelwert (sprich Schwerpunkt) der Kurve, sondern dieser wird noch mit der Signaldauer T_s=t_e-t_b multipliziert. Für unser Signal, eine Sinus-Halbwelle von 0 bis 0.5 s, zeigt das Abb. 3.

Abb. 3: Die Fourier-Koeffizienten \underline{\mathcal{S}}(\omega) sind der Schwerpunkt unseres verdrillten Signals, multipliziert mit der Signaldauer t_e-t_b=0.5\,\text{s}. Der violette Punkt links stellt jetzt \underline{\mathcal{S}}(\omega) dar.

Im Ergebnis führt das bei Betrag und Phase zu genau den Kurven, die wir auch schon in Abb. 2 gesehen haben.

Periodische Signale und Distributionen

Die Fourier-Transformation ist zwar eine schöne Erweiterung der Fourier-Reihe – blöderweise hat sie aber ein Problem mit periodischen Signalen …

Das Problem ist, wie oben bemerkt, dass die Fourier-Transformierte \underline{\mathcal{S}} nicht einfach nur der Schwerpunkt des um den Ursprung verdrillten Signals ist. Das wäre für periodische Funktionen noch kein Problem. Aber wir multiplizieren noch mit der Signaldauer und die ist für periodische Funktionen prinzipiell unendlich.

Abb. 4 zeigt die Situation für einen Sinus mit Eigenfrequenz f_0=1\,\text{Hz} und der Signaldauer T_s. D.h., außerhalb des Intervalls [-T_s/2,+T_s/2] ist unser Signal gleich 0. Von T_s=1\,\text{s} ausgehend vergrößern wir dann die Signaldauer.

Abb. 4: Die Fourier-Transformierte einer Sinus-Funktion, deren Signaldauer T_s immer größer wird. Im Grenzfall T_s\to\infty hat man einen unendlich dünnen und unendlich hohen Peak.

Von der Fourier-Reihe her würden wir einfach einen Fourier-Koeffizienten mit Betrag 1/2 bei f_0=1\,\text{Hz} erwarten. Tatsächlich passiert etwas anderes. Für zunehmende Signaldauer T_s konzentriert sich der Betrag der Fourier-Transformierten in einem immer engeren Bereich um f_0 und wird dabei immer größer.

Für T_s\to\infty wird dieser Peak unendlich dünn und gleichzeitig unendlich groß. Für ein »echtes« Sinus-Signal von -\infty bis +\infty ist die Fourier-Transformierte also überall gleich 0, außer bei f=\pm f_0 – dort wird ihr Betrag unendlich.

Jetzt ist es für eine Funktion an sich kein Problem an einzelnen Punkten komische Werte zu haben. Aber für die Rücktransformation müssen wir

\displaystyle s(t)=\frac{1}{\tau}\int_{-\infty}^{+\infty}\underline{\mathcal{S}}(\omega)\cdot e^{\underline{i}\omega t}\,\mathrm{d}\omega

berechnen, um unseren »normalen« Sinus wiederzubekommen. Nur, wenn \underline{\mathcal{S}} praktisch überall gleich 0 ist, gilt das auch für das Produkt mit e^{\underline{i}\omega t}. Und wenn wir über eine Funktion integrieren, die fast überall 0 ist, ist auch das Integral gleich 0 – und eben nicht gleich \sin(\omega_0 t).

Für die Fourier-Transformierte von periodischen Signalen reichen Funktionen daher nicht aus. Man muss eine noch allgemeinere Klasse von mathematischen Objekten zu Hilfe nehmen, die Distributionen. Speziell ist die Fourier-Transformierte einer Sinus-Funktion mit Eigenfrequenz f_0 die Summe zweier Delta-Distributionen bei \pm f_0 (bzw. \pm\omega_0):

\underline{\mathcal{S}}(\omega)=\frac{\underline{i}}{2}\bigl(\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)\bigr) .

Diskussion

Um auch nicht-periodische Signale in ihre Frequenzanteile zerlegen zu können, sind wir von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation übergegangen. In der Fourier-Transformierten können dabei beliebige Frequenzen auftreten.

Allerdings werden dadurch periodische Funktionen mit definierten Eigenfrequenzen problematisch. Es ist natürlich etwas unphysikalisch, sich mit Signalen zu beschäftigen, die von -\infty bis +\infty dauern. Irgendwann werden sie ein- und auch wieder ausgeschaltet (und dann nicht ganz so abrupt wie in Abb. 4). Dann ist die Fourier-Transformierte wieder eine Funktion mit mehr oder weniger breiten Peaks um die Eigenfrequenzen herum.

Andererseits ist es natürlich etwas unbefriedigend, wenn eine so einfache Funktion wie \sin(\omega_0 t) keine einfache Fourier-Transformierte hat.

Ein ähnliches Problem haben prinzipiell alle Signale, die für t\to\pm\infty nicht schnell genug gegen 0 gehen.

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