Warum ein Kondensator und ein Widerstand besser differenzieren können als die meisten Leute

In Physik und Technik hängen viele Größen davon ab, wie schnell sich andere ändern. Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate des Orts, die Beschleunigung ist die zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit, die Kraft ist die örtliche Änderungsrate der potentiellen Energie … Wenn wir diese Größen als Funktionen aufzeichnen, sehen wir die Änderungsrate als Steigung des Graphen.

Mathematisch fassen wir den Begriff der Änderungsrate über den Differentialquotienten, indem wir eine Funktion ableiten bzw. differenzieren:

\displaystyle\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=f'(x)=\mathrm{D}_x\,f(x) .

Rein prinzipiell könnten wir eine riesige Tabelle erstellen, wo für jede Funktion ihre Ableitung drinnen steht. Spätestens bei (x^2)'=2x, (2x^2)'=4x, (3x^2)'=6x … beginnt man an dieser Idee zu zweifeln. Stattdessen haben wir z.B. die allgemeine Regel, dass für jede differenzierbare Funktion f und jede Konstante k gilt: (k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x). Diese und weitere Regeln sind die Ableitungsregeln, die wir in richtiger Reihenfolge anwenden müssen. Bzw. müssten – denn oft schleichen sich hier Fehler ein.

Interessanterweise schaffen ein Kondensator und ein Widerstand das quasi nebenbei.

Spannung und Stromstärke

Natürlich schreiben Kondensatoren und Widerstände keine Ableitungen auf Papier. Wir müssen ihnen die abzuleitende Funktion als elektrisches Signal liefern und bekommen die Ableitung ebenfalls als elektrische Messung zurück.

In der Elektrotechnik messen wir am häufigsten Spannungen und Stromstärken. Beide werden durch dasselbe elektromagnetische Feld verursacht. Die Spannung u ist im Wesentlichen die Änderung der potenziellen Energie, wenn wir eine (gedachte) Ladung in dem Feld verschieben. Sie ist damit eine Eigenschaft des elektromagnetischen Feldes selber.

Sobald ein elektromagnetisches Feld auf Materie einwirkt, können Ladungen verschoben werden – sprich Ströme fließen. Die pro Zeit bewegte Ladungsmenge ist die Stromstärke i.

Spannungen sind leichter zu messen als Stromstärken, weil wir die Strippen des Voltmeters einfach nur an zwei Punkte einer Schaltung halten brauchen. Für die Stromstärke müssen wir typischerweise den Stromkreis an einer Stelle öffnen und über das Amperemeter wieder schließen. Außerdem sieht man sich zeitlich veränderliche Größen gerne mit dem Oszilloskop an – und das kann nur Spannungen messen.

Bauteile (Materie)

Weil Spannung und Stromstärke vom selben elektromagnetischen Feld stammen, hängen die beiden natürlich zusammen. Allerdings für jedes Bauteil (Anordnung von Materie) anders.

Für Widerstände (s. Abb. 1) ist der Zusammenhang zwischen Spannung u_R und Stromstärke i sehr einfach:

u_R=R\cdot i ,

wobei R der Widerstand (Wert) des Widerstands (Bauteil) ist. Das ist das ohmsche Gesetz.

Abb. 1: Das Schaltbild eines ohmschen Widerstandes.

Für alle anderen Bauteile ist der Zusammenhang komplizierter. Z.B. gilt für einen Kondensator (s. Abb. 2) mit der Kapazität C

\displaystyle i=C\cdot\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} .

Hier hängt die Stromstärke i nicht von der Spannung u_C selber ab, sondern wie schnell sich diese zeitlich ändert (\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t).

Abb. 2: Das Schaltbild eines Kondensators.

Wunderbar, das ist doch, was wir wollen: Bis auf einen konstanten Faktor ist die Stromstärke die Ableitung der Spannung. Aber wie schon oben erwähnt: Wir würden gerne Spannungen messen.

Differenzierer

Wir müssen unsere Stromstärke also wieder in eine Spannung umwandeln. Und dazu können wir einen Widerstand R verwenden (s. Abb. 3). Der bringt zwar einen weiteren konstanten Faktor rein, aber es gilt jedenfalls

\displaystyle u_R=R\cdot i=RC\cdot\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} .

Abb. 3: Ein RC-Glied als Differenzierer. Die Ausgangsspannung u_R soll die Ableitung der Eingangsspannung u sein.

Die Spannung u_R am Widerstand ist bis auf den Faktor RC gleich der Ableitung der Kondensatorspannung u_C. Leider können wir u_C nicht direkt einstellen. Unser Signal ist die Eingangsspannung u ganz links.

Aufgrund der Kirchhoffschen Maschenregel ist u_C=u-u_R, also gilt

\displaystyle u_R=RC\cdot\frac{\mathrm{d}(u-u_R)}{\mathrm{d}t} .

Daher ist u_R im Wesentlichen die Ableitung von u-u_R – da beißt sich die Katze ein bisschen selbst in den Schwanz.

Zum Glück ist noch nicht alles verloren. Wenn u_R betragsmäßig viel kleiner ist als u, dann passt es näherungsweise:

\displaystyle u_R\approx RC\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} .

Wann ist das der Fall? Naja, wenn die Änderungsrate \mathrm{d}u/\mathrm{d}t unseres Signals betragsmäßig klein ist, also wenn sich unser Signal u nicht zu schnell ändert. Und wie schnell sich u ändert, hat mit der Frequenz zu tun.

Zumindest periodische Signale können wir als Summe von Sinus-Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen schreiben (Fourier-Reihe). Aufgrund der Summenregel ist die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen. Daher brauchen wir uns nur anschauen, was mit einzelnen Sinus-Signalen unterschiedlicher Frequenz passiert. Man nennt das den Wechsel vom Zeit- in den Frequenzbereich.

idealer Differenzierer

Was erwarten wir uns von der Ableitung einer Sinus-Funktion? Nehmen wir ein sinusförmiges Signal

u(t)=\hat{u}\cdot\sin(\omega t+\varphi_u)

mit Amplitude \hat{u}, Kreisfrequenz \omega und Phase \varphi_u. Seine Ableitung ist

\displaystyle\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}&=\hat{u}\cdot\omega\cdot\cos(\omega t+\varphi_u)\\&=\hat{u}\cdot\omega\cdot\sin(\omega t+\varphi_u+90^\circ)\,.\end{aligned}

Der Faktor \omega kommt aufgrund der Kettenregel dazu, und die letzte Zeile gilt, weil der Cosinus ein 90° nach vorne geschobener Sinus ist.

Die Ableitung einer allgemeinen Sinus-Funktion ist also wieder eine allgemeine Sinus-Funktion derselben Frequenz. Allerdings haben sich Amplitude und Phase geändert. Für einen idealen Differenzierer erwarten wir uns im Frequenzbereich zwei Dinge:

1. Das Verhältnis der Amplituden von Ableitung und Signal ist

\displaystyle\frac{\hat{u}\cdot\omega}{\hat{u}}=\omega

und damit proportional zur Frequenz.

2. Die Phasenverschiebung von Signal zu Ableitung beträgt +90°.

nicht-idealer Differenzierer

Sinusförmige Spannungen und Stromstärken können wir als Projektionen von gleichförmig rotierenden Pfeilen ansehen, die wir durch komplexe Zahlen beschreiben. Unsere Spannungen u und u_R werden dann durch die komplexen Effektivwerte \underline{U} bzw. \underline{U}_R dargestellt. (Effektivwerte und Amplituden unterscheiden sich beim Sinus nur durch einen Faktor \sqrt{2}, der sich in allen folgenden Spannungsverhältnissen wegkürzt.)

In diesem Bild ist das RC-Glied aus Abb. 1 ein komplexer Spannungsteiler. Die Spannungen verhalten sich dabei wie die Impedanzen, d.h. die komplexe Spannungsverstärkung ist

\displaystyle\underline{A}=\frac{\underline{U}_R}{\underline{U}}=\frac{R}{R+\frac{1}{\underline{j}\omega C}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\underline{j}\omega RC}}=\frac{1}{1-\frac{\underline{j}}{\omega RC}} .

Wir erhalten für das Verhältnis der beiden Spannungsamplituden

\displaystyle\frac{\hat{u}_R}{\hat{u}}=\lvert\underline{A}\rvert=\frac{\lvert\underline{U}_R\rvert}{\lvert\underline{U}\rvert}=\frac{1}{\left\lvert1-\frac{\underline{j}}{\omega RC}\right\rvert}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{(\omega RC)^2}}} ,

weil der Betrag des Quotienten zweier komplexer Zahlen gleich dem Quotienten der Beträge ist. Das sieht jetzt nicht wirklich nach proportional zur Frequenz aus.

Für kleine Frequenzen allerdings, wenn \omega RC viel kleiner als 1 ist, wird 1/(\omega RC)^2 viel größer als 1. Wir können dann den addierten Einser vernachlässigen:

\displaystyle\frac{\hat{u}_R}{\hat{u}}=\frac{\lvert\underline{U}_R\rvert}{\lvert\underline{U}\rvert}\approx\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{(\omega RC)^2}}}=\omega RC .

Solange unser Signal nur Kreisfrequenzen enthält, die weit unterhalb der Grenzkreisfrequenz

\displaystyle\omega_g=\frac{1}{RC}

liegen, ist das Amplitudenverhältnis also tatsächlich proportional zu \omega. Den zusätzlichen Faktor RC haben wir ja schon im Zeitbereich gehabt. Mit \omega=2\pi f erhalten wir für die Grenzfrequenz

\displaystyle f_g=\frac{1}{2\pi\cdot RC} .

Für die Phasenverschiebung von u zu u_R benötigen wir den Winkel der Spannungsverstärkung

\displaystyle\begin{aligned}\arg(\underline{A})&=\arg(1)-\arg\!\left(1-\frac{\underline{j}}{\omega RC}\right)\\&=0-\arctan\!\left(\frac{-\frac{1}{\omega RC}}{1}\right)\\&=\arctan\!\left(\frac{1}{\omega RC}\right)\,.\end{aligned}

In der 1. Zeile haben wir verwendet, dass bei der Division komplexer Zahlen ihre Winkel subtrahiert werden. Zeile 2: Der Winkel einer positiven reellen Zahl wie 1 ist immer 0, ansonsten der Arkustangens von Imaginär- durch Realteil. (Weil der Realteil hier 1 und damit sicher größer als 0 ist, brauchen wir uns um den II. und III. Quadranten keine Sorgen machen.) In der letzten Zeile verschwinden die Minuszeichen, weil der Arkustangens eine ungerade Funktion ist.

Wenn wir weit unterhalb der Grenzfrequenz sind, ist \omega RC sehr klein und damit 1/(\omega RC) sehr groß. Damit wird der Arkustangens ungefähr +90°.

Für große Frequenzen wird die komplexe Spannungsverstärkung \underline{A}\approx1, und daher u_R\approx u. Unser RC-Glied verhält sich damit als Hochpass, weil Spannungen hoher Frequenz praktisch unverändert durchgehen, mit niedrigen Frequenzen aber nicht.

Bode-Diagramm

Abb. 4 zeigt sowohl das Amplitudenverhältnis als auch die Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz in einem sogenannten Bode-Diagramm. In so einem Diagramm werden die Frequenzen und auch das Amplitudenverhältnis \hat{u}_R/\hat{u} logarithmisch aufgetragen.

Abb. 4: Bode-Diagramm eines idealen Differenzierers (strichlierte Linien) und eines Hochpasses (durchgezogene Linien).

Der Vorteil von einem doppelt-logarithmischen Koordinatensystem ist, dass eine direkte Proportionalität als Gerade mit Steigung 1 dargestellt wird. Das sind die berühmten 20dB/Dekade. Aus y=k\cdot x folgt nämlich mit den Logarithmen-Rechenregeln \log(y)=1\cdot\log(x)+\log(k).

Entsprechend sehen wir für Frequenzen viel kleiner als f_g, dass das Verhältnis \hat{u}_R/\hat{u} proportional zur Frequenz ist. Wenn wir in die Nähe der Grenzfrequenz kommen, knickt die Kurve aber ab und wird konstant 1. Der physikalische Grund dafür ist, dass der Kondensator bei hohen Frequenzen praktisch ein Kurzschluss ist, und damit u_R\approx u wird. Für einen idealen Differenzierer hätten wir für alle Frequenzen eine Gerade mit Steigung 1.

Ebenso ist die Phasenverschiebung für kleine Frequenzen +90°, wie wir es für einen idealen Differenzierer gerne hätten. In der Nähe der Grenzfrequenz weicht sie aber schon stark von diesem idealen Wert ab.

Unsere einfache Schaltung kann also nicht jedes beliebige Signal exakt differenzieren. Aber dort wo sie funktioniert, sieht es (bis auf den konstanten Faktor RC) gut aus.

Beispiele

Abb. 5 zeigt den Aufbau des Differenzierers. Das Eingangssignal wurde von einem Funktionsgenerator erzeugt. Es geht über ein T-Stück in die Schaltung und in Kanal 1 des Oszilloskops. Das Ausgangssignal geht in Kanal 2 des Oszilloskops.

Abb. 5: Differenzierer. Der große, beige Bauteil am Steckbrett ist der 3.3 nF-Kondensator. Der senkrecht gesteckte Widerstand hat 100 Ω. Die gelbe Kurve auf dem Oszilloskop-Schirm ist das Eingangssignal, die blaue Linie das Ausgangssignal.

Als Bauteile habe ich R=100\,\Omega und C=3.3\,\text{nF} verwendet, was eine Grenzfrequenz von f_g\approx480\,\text{kHz} ergibt. Für eine hohe Grenzfrequenz hätten wir zwar gerne einen kleinen Widerstand, aber der würde den Funktionsgenerator irgendwann praktisch kurzschließen. Der 3.3 nF-Kondensator lag gerade herum …

Als Signalfrequenz habe ich zunächst 1 kHz verwendet – und mich dann über das Rauschen des Ausgangssignals gewundert. Nach 5 Minuten herum probieren mit verschiedenen Kabeln ist mir dann eingefallen, dass das Amplitudenverhältnis in diesem Fall 0.002 ist. Wir wollen zwar weit unterhalb der Grenzfrequenz liegen, aber nicht so weit, dass wir nur noch Rauschen messen. Eine Verzehnfachung auf 10 kHz hat dann sinnvolle Signale ergeben (die aber auch noch etwas verrauscht waren). Die Eingangsamplitude wollte ich nicht verzehnfachen, um den Funktionsgenerator nicht zu beleidigen.

Abb. 6 zeigt ein reines Sinus-Eingangssignal (gelb) und dessen Ableitung (blau). Von der Amplitude abgesehen, ist die blaue Kurve die gelbe Kurve um eine Viertelperiode nach vorne geschoben. Das Ausgangssignal ist also tatsächlich ein Cosinus. Als Phasenverschiebung zeigt das Oszilloskop -95.76° statt +90° an. Diese komische Vorzeichenkonvention ist zwar im Manual so beschrieben, widerspricht aber leider der mathematischen Konvention.

Abb. 6: Ein Sinus-Signal (oben) und seine Ableitung (unten).

Beide Signale haben eine Amplitude von einem »Kasterl« (dank Auto-Setup). Allerdings entspricht dieses Kasterl für die Eingangsspannung 1 V, für die Ausgangsspannung aber nur 20 mV. Wir haben also \hat{u}_R/\hat{u}\approx0.02. Mit unserem R– und C-Wert erwarten wie bei 10 kHz für dieses Amplitudenverhältnis den Wert 0.021, was sehr gut mit der Messung übereinstimmt.

Wenn wir statt dem Sinus-Signal ein Dreieck-Signal nehmen, erhalten wir die Messung in Abb. 7. Das Dreieck-Signal ist stückweise linear, die Steigung (Ableitung) wechselt daher zwischen einer positiven und einer negativen Konstanten hin und her. Wenn die Linie nach oben geht, ist die Steigung positiv, sonst negativ.

Abb. 7: Ein Dreieck-Signal (oben) und seine Ableitung (unten).

Interessant wird die Sache, wenn das Eingangssignal ein Rechteck ist (s. Abb. 8). Da ist die Eingangsspannung stückweise konstant, ihre Steigung und Ableitung daher gleich Null. Nur an den Sprungstellen ändert sie sich sehr schnell. Deshalb sehen wir in der Ableitung diese kurzen, großen Spitzen.

Abb. 8: Ein Rechteck-Signal (oben) und seine Ableitung (unten).

Diskussion

Zumindest für ein paar periodische Funktionen haben wir gesehen, dass ein Kondensator und ein Widerstand differenzieren können. Sie machen das natürlich nicht willkürlich, sondern aufgrund ihrer physikalischen Eigenschaften (und wie sie geschalten sind).

Allerdings muss man auf die verwendete Frequenz achten: Der Differenzierer funktioniert nur gut für kleine Frequenzen.

Wie wir auch gesehen haben, ergänzen sich die Diskussionen im Zeit- und Frequenzbereich. Im Zeitbereich ist klar, dass die Ableitung des Signals klein sein muss. Aber erst im Frequenzbereich sehen wir, wann das wirklich der Fall ist.

In den Beispielen oben habe ich mir um die exakten Werte für R und C nicht viele Gedanken gemacht. Wenn man eine Schaltung für einen bestimmten Zweck entwirft, sollte man sich die Grenzfrequenz aber genauer ansehen. Speziell sollte der Widerstand im Differenzierer auch nicht zu klein (unter 50 Ω) sein.

Mit Hilfe eines Operationsverstärkers (OPV) könnten wir einen etwas idealeren Differenzierer bauen. Da ein OPV aber ein aktives Bauteil ist, hätten wir außer unserem Signal eine zusätzliche Spannungsversorgung (+ und -) benötigt.

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