Komplexe Zahlen, Teil 8 – räumliche Schwingungen und Wellen

In Teil 6 der komplexen Zahlen und den bisherigen Teilen zur Fourier-Reihe haben wir uns mit zeitabhängigen Sinus-Funktionen, also zeitlichen Schwingungen, beschäftigt. In diesem Teil soll es um räumliche Schwingungen gehen – in einer und mehr Dimensionen. Den Abschluss bilden dann harmonische Wellen, also Schwingungen, die sich mit der Zeit im Raum ausbreiten.

Abb. 1 zeigt noch einmal eine sinusförmige Schwingung in der Zeit. Wir können sie uns als die Projektion eines rotierenden Zeigers vorstellen, dessen Winkel von der Zeit t abhängt.

Abb. 1: eine sinusförmige Schwingung in der Zeit.

Räumliche Schwingungen in 1D

Wir könnten uns aber auch vorstellen, dass der Winkel des Zeigers nicht von der Zeit t, sondern vom Ort x abhängt. Wie Abb. 2 zeigt, ergibt die Projektion dann eine Sinus-Funktion entlang der x-Achse.

Abb. 2: eine sinusförmige Schwingung entlang der x-Achse.

Bei zeitlichen Schwingungen gibt es eine bestimmte Dauer, die Periodendauer T, nach der sich die Schwingung exakt wiederholt. Im Raum gibt es analog dazu eine bestimmte Länge, die Wellenlänge \lambda, mit der sich alles periodisch wiederholt.

Innerhalb der Periodendauer T dreht sich der Zeiger einmal herum, also um den vollen Winkel \tau=2\pi. Die Winkelgeschwindigkeit bzw. Kreisfrequenz \omega rechnet zwischen Zeit und Winkel um und ist daher

\omega=\dfrac{\tau}{T} .

Entsprechend sorgt im räumlichen Fall die Kreiswellenzahl k dafür, dass der Zeiger bei einer Ortsänderung um \lambda einmal herum läuft:

k=\dfrac{\tau}{\lambda} .

Die folgende Tabelle vergleicht die entsprechenden Begriffe bei zeitlichen und räumlichen Schwingungen.

zeitlichräumlich
Periodendauer T
(Dauer einer vollen Schwingung)
Einheit: 1 s
Wellenlänge \lambda
(Länge einer vollen Schwingung)
Einheit: 1 m
Frequenz f=\dfrac{1}{T}
(Anzahl der Schwingungen pro Sekunde)
Einheit: 1 Hz
Wellenzahl \nu=\dfrac{1}{\lambda}
(Anzahl der Schwingungen pro Meter)
Einheit: 1\,\text{m}^{-1}
Kreisfrequenz \omega=\tau\cdot f=\dfrac{\tau}{T}
(Winkel, um den sich der Zeiger pro Sekunde weiter dreht)
Einheit: 1\,\text{s}^{-1}
Kreiswellenzahl k=\tau\cdot \nu=\dfrac{\tau}{\lambda}
(Winkel, um den sich der Zeiger pro Meter weiter dreht)
Einheit: 1\,\text{m}^{-1}

In der Praxis sagt man oft auch einfach Frequenz bzw. Wellenzahl, wenn man tatsächlich die Kreisfrequenz bzw. die Kreiswellenzahl meint.

Räumliche Schwingungen in 2D und darüber hinaus

Im Gegensatz zu zeitlichen Schwingungen können räumliche nicht nur von einer (1D), sondern auch von zwei (2D) oder drei (3D) Ortsvariablen abhängen. Beginnen wir mit harmonischen Schwingungen in der xy-Ebene.

Zunächst können wir die Orientierung unserer Schwingung mit einem beliebigen Einheitsvektor e in der Ebene festlegen. In diese Richtung legen wir unsere r-Achse, und projizieren unseren Zeiger entlang dieser Achse (s. Abb. 3). Unser Signal s(x,y) tragen wir entlang der z-Achse auf. Wenn wir senkrecht von der r-Achse weggehen, soll sich unser Signal nicht ändern. Mit diesen Vorgaben erhalten wir die sinusförmige Fläche in Abb. 3, die ein Baustein für beliebige periodische Signale in der Ebene ist.

Abb. 3: Eine räumliche Schwingung in der xy-Ebene können wir uns als die Projektion eines rotierenden Zeigers entlang der r-Achse denken. Die Wellenlänge in r-Richtung ist etwa 1.56 m.

Die Wellenlänge entlang der r-Achse in Abb. 3 beträgt \lambda = \tfrac{10}{\sqrt{41}}\,\text{m}\approx1.56\,\text{m}. Warum ich eine so krumme Zahl gewählt habe, wird unten klar werden.

Im Folgenden ist es einfacher, wenn wir statt einer 3D-Darstellung unsere Signalwerte in der Ebene farblich darstellen (s. Abb. 4).

Abb. 4: Eine 2D-Darstellung von Abb. 3. Die Funktionswerte des Signals s sind farblich dargestellt.

Unser Signal soll senkrecht zur r-Achse konstant sein, daher kann der Winkel des Zeigers nur von unserem Ort auf dieser Achse abhängen. Für den Ortsvektor r eines beliebigen Punktes benötigen wir daher die senkrechte Projektion auf die r-Achse, also

\lvert\boldsymbol{r}\rvert\cdot\cos(\alpha) .

Weil e ein Einheitsvektor ist (\lvert\boldsymbol{e}\rvert=1), können wir das auch als Skalarprodukt

\boldsymbol{e\cdot r}=\lvert\boldsymbol{e}\rvert\cdot\lvert\boldsymbol{r}\rvert\cdot\cos(\alpha)

schreiben. Für eine beliebige Stelle r in der Ebene bekommen wir daher den Zeiger

\displaystyle e^{\underline{i}k\boldsymbol{e\cdot r}} .

Die Kreiswellenzahl k und den Richtungseinheitsvektor \boldsymbol{e} können wir noch zum Wellenvektor \boldsymbol{k}=k\boldsymbol{e} zusammenfassen. Unser rotierender Zeiger wird damit zu

e^{\underline{i}\boldsymbol{k\cdot r}} ,

was eine schöne Verallgemeinerung des eindimensionalen Falles ist.

Schauen wir uns Abb. 3 oder 4 genauer an, sehen wir, dass unser Signal nicht nur in r-Richtung periodisch ist, sondern auch in x– und y-Richtung. Das ist in Abb. 5 explizit gezeigt. In x-Richtung wiederholt sich das Signal alle 2 m und in y-Richtung alle 2.5 m, wodurch die Wellenlängen \lambda_x und \lambda_y in diesen Richtungen festgelegt werden.

Abb. 5: Unser Signal aus Abb. 3 und 4 ist auch in x- und y-Richtung periodisch. Die Wellenlängen in diesen Richtungen sind 2 m bzw. 2.5 m.

Wie hängt \lambda mit \lambda_x und \lambda_y zusammen? Der Ortsvektor unseres Punktes in der Ebene ist

\boldsymbol{r}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} ,

sein Skalarprodukt mit dem Wellenvektor

\boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}k_x\\k_y\end{pmatrix}

ergibt daher

\boldsymbol{k\cdot r}=k_xx+k_yy

(in 3D würde noch die z-Komponente k_zz dazukommen).

Für den Betrag des Wellenvektors muss wieder gelten

\displaystyle\lvert\boldsymbol{k}\rvert=\frac{\tau}{\lambda}

und in x– und y-Richtung gelten

\lvert k_x\rvert=\dfrac{\tau}{\lambda_x} und \lvert k_y\rvert=\dfrac{\tau}{\lambda_y} .

Die Beträge sind hier notwendig, weil sowohl k_x als auch k_y negativ werden können, um beliebige Richtungen in der Ebene festzulegen.

Weil \lvert\boldsymbol{k}\rvert = \sqrt{k_x^2+k_y^2} ist, muss auch

\displaystyle\lvert\boldsymbol{k}\rvert=\frac{\tau}{\lambda}=\sqrt{\frac{\tau^2}{\lambda_x^2}+\frac{\tau^2}{\lambda_y^2}}

sein, woraus

\displaystyle\frac{1}{\lambda}=\sqrt{\frac{1}{\lambda_x^2}+\frac{1}{\lambda_y^2}}

folgt. Deshalb ergibt sich aus den einfachen Werten von \lambda_x und \lambda_y der krumme Wert für \lambda. In 3D stünde unter der Wurzel noch {}+1/\lambda_z^2.

Damit können wir unseren Zeiger als

e^{\underline{i}\boldsymbol{k\cdot r}}=e^{\underline{i}(k_xx+k_yy)}=e^{\underline{i}k_xx}\cdot e^{\underline{i}k_yy}

schreiben. Wir können ihn also als das Produkt zweier Zeiger auffassen, deren Winkel rein von der x– bzw. y-Koordinate unseres Punktes r abhängen.

Das führt uns zu der Idee, dass wir unser Signal auch durch Abrastern der xy-Ebene erhalten können (s. Abb. 6). Der rote Zeiger ist e^{\underline{i}k_xx}, dessen Winkel von der x-Koordinate abhängt; der blaue Zeiger ist e^{\underline{i}k_yy} und sein Winkel hängt von der y-Koordinate ab. Addieren wir den Winkel des blauen Zeigers zum roten Zeiger, erhalten wir den oliven Produktzeiger, dessen Projektion an jeder Stelle unser Signal s(x,y) ergibt.

Abb. 6: Entlang der x-Richtung dreht sich der rote Zeiger mit Wellenzahl k_x und entlang der y-Richtung der blaue Zeiger mit Wellenzahl k_x. Die Projektion ihres Produkts ergibt unser Signal s.

Wie bei den zeitlichen Schwingungen können wir noch eine komplexe Amplitude \underline{A}=Ae^{\underline{i}\varphi} haben. Dabei ist A die Länge des projizierten Zeigers und \varphi sein Startwinkel im Ursprung x = y = 0. Insgesamt ergibt sich für unsere Schwingung s in der Ebene:

\displaystyle\begin{aligned}s(x,y)&=\Im\left(\underline{A}\cdot e^{\underline{i}\boldsymbol{k\cdot r}}\right)\\&=\Im\left(Ae^{\underline{i}\varphi}\cdot e^{\underline{i}(k_xx+k_yy)}\right)\\&=A\sin(k_xx+k_yy+\varphi)\,.\end{aligned}

Für A=1.25 und \varphi=135^\circ=\tfrac{3}{8}\tau ist das in Abb. 7 gezeigt. Die komplexe Amplitude \underline{A} is ein fixer Zeiger, zu dem der Winkel des roten und des blauen Zeigers addiert werden. Roter und blauer Zeiger haben immer die Länge 1. Erst der olive Produktzeiger hat dieselbe Länge wie die komplexe Amplitude.

Abb. 7: Wie Abb. 6 aber mit Amplitude A=1.25 und Startwinkel \varphi=135^\circ.

Periodische Signale in der Ebene

Was genau ist eigentlich eine periodische Funktion in der Ebene? Es ist eine Funktion, die entlang zweier Richtungen periodisch ist. Diese Richtungen können, müssen aber nicht die x– und y-Achse sein. Ja, die beiden Richtungen müssen nicht einmal senkrecht aufeinander stehen. (In 3D müsste so eine Funktion entlang dreier verschiedener Richtungen periodisch sein.)

Eine einfache Möglichkeit ist die Sinus-Funktion in Abb. 5, die entlang der x– und y-Achse periodisch ist. Wir können die Ebene daher mit lauter gleichen Rechtecken zupflastern.

Wie Abb. 8 zeigt, könnten es aber auch Parallelogramme sein. Die Seitenvektoren \boldsymbol{a}_1 und \boldsymbol{a}_2 eines Parallelogramms legen die beiden periodischen Richtungen fest. Die Längen dieser Vektoren sind gleich den entsprechenden Wellenlängen. (Ein weiteres Beispiel wäre die bayerische Rautenflagge.)

In Abb. 8 hat \boldsymbol{a}_1 die Länge 1 und ist 15° gegen die x-Achse geneigt. Der Vektor \boldsymbol{a}_2 hat die Länge 5/4 und ist 75° gegen die x-Achse geneigt.

Abb. 8: Eine periodische Funktion in der Ebene. Sie ist weder periodisch entlang der x- noch entlang der y-Achse. Die durch die strichlierte Linie angedeutete Periodizität ist nicht exakt.

Die punktierten Linien in Abb. 8 grenzen gleichartige Zellen voneinander ab. Ihre Schnittpunkte bilden ein schiefwinkeliges Gitter, das eines von fünf möglichen Bravais-Gittern der Ebene ist. Egal in welchem Gitterpunkt wir uns befinden, die Umgebung sieht immer exakt gleich aus.

Weil \boldsymbol{a}_1 und \boldsymbol{a}_2 die kürzesten Vektoren sind, die dieses Gitter erzeugen, nennt man sie primitive Vektoren. Das von ihnen aufgespannte Parallelogramm ist eine primitive Einheitszelle dieses Gitters.

Abb. 8 ist nicht sehr spannend, und zeigt im Wesentlichen die Summe von zwei Cosinus-Funktionen. Aber innerhalb der Einheitszelle könnten wir unsere Funktionswerte beliebig wählen und hätten trotzdem noch eine periodische Funktion. Den Inhalt der Einheitszelle nennt man in der Festkörperphysik Basis, was etwas problematisch ist, weil \boldsymbol{a}_1 und \boldsymbol{a}_2 nathematisch die Basisvektoren des Gitters sind.

Die strichlierte Linie in Abb. 8 scheint anzudeuten, dass es eine Periodizität entlang der x-Achse geben könnte. Das ist aber eine Täuschung, denn die x-Komponente von 3\boldsymbol{a}_2 ist 3\cdot\tfrac{5}{4}\cdot\cos(75^\circ)=0.970\ldots, während die x-Komponente von \boldsymbol{a}_1 gleich 1\cdot\cos(15^\circ)=0.965\ldots ist.

Tatsächlich sind die Verhältnisse

\displaystyle\frac{\cos(15^\circ)}{\cos(75^\circ)}=\frac{\sin(75^\circ)}{\sin(15^\circ)}=2+\sqrt{3}

irrational. Daher gibt es überhaupt keine Möglichkeit, das Gitter in Abb. 8 in ein rechtwinkeliges Gitter (mit möglicherweise großer Seitenlänge) umzuwandeln. (Für Winkel, die zu rationalen Punkten auf dem Einheitskreis führen, ginge es sehr wohl.)

Interessanterweise lassen sich beliebige periodische Signale in der Ebene trotzdem wieder durch Sinus-Funktionen wie in Abb. 5 zusammensetzen. Über die Richtungen dieser Schwingungen werden wir uns noch unterhalten. (Spoiler: sie stehen senkrecht auf die Gittervektoren \boldsymbol{a}_1 und \boldsymbol{a}_2.)

In einem eigenen Beitrag wird es im Detail um die Bravais-Gitter und ihre reziproken Gitter gehen.

Ebene Wellen in einer und mehr Dimensionen

Nehmen wir die Schwingung aus Abb. 2 und verschieben sie mit der Zeit entlang der x-Achse (s. Abb. 9). Dann haben wir eine Schwingung, die sich mit der Zeit im Raum ausbreitet, also eine Welle.

Abb. 9: Eine harmonische Welle mit k > 0 breitet sich entlang der x-Achse aus. Die Periodendauer ist T = 2 s.

Um einen Funktionsgraphen nach rechts schieben zu können, müssen wir im Argument eine positive Zahl subtrahieren. Warum? Sehen wir uns das anhand der Abb. 10 an, wo wir die Funktion f um 3 Einheiten nach rechts geschoben haben, um die Funktion g zu erhalten. Das heißt aber auch, dass f genau 3 Einheiten links von g liegt.

Abb. 10: Die Funktion g entsteht durch Verschiebung der Funktion f um 3 Einheiten nach rechts.

Wollen wir den Funktionswert g(x) wissen, können wir einfach 3 Einheiten nach links gehen und den entsprechenden Funktionswert f(x – 3) nehmen. Daher ist

g(x)=f(x-3)

die um 3 Einheiten nach rechts verschobene Funktion.

Wenn wir die Funktion s(x)=\sin(kx) linear mit der Zeit nach rechts schieben wollen, müssen wir sie um die Strecke \Delta x=vt verschieben, wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist. Dabei stellen wir aber fest, dass \sin(kx-vt) nicht funktioniert, weil kx ein Winkel und vt eine Strecke ist. Wir müssen also k herausheben:

s(x,t)=\sin\bigl(k(x-vt)\bigr) .

Wie kommen wir zu unserer Geschwindigkeit v? Innerhalb der Periodendauer T soll die Welle die Strecke \lambda weiter wandern. Also ist

\displaystyle v=\frac{\lambda}{T}=\frac{\frac{\tau}{k}}{\frac{\tau}{\omega}}=\frac{\omega}{k} .

Setzen wir das ein, können wir k wieder ausmultiplizieren und erhalten

\displaystyle s(x,t)=\sin\left(k\left(x-\frac{\omega}{k}\,t\right)\right)=\sin(kx-\omega t) ,

wie in Abb. 9 gezeigt.

Von der Ausbreitungsgeschwindigkeit v, der Wellenlänge \lambda und der Periodendauer T können wir uns nur zwei Werte aussuchen, der dritte ergibt sich automatisch. (Wenn wir mehrere sinusförmige Wellen zu einem Wellenpaket überlagern, müssen wir bei der Geschwindigkeit etwas genauer hinschauen.)

Unser Wellensignal können wir wieder als Projektion schreiben:

\begin{aligned}s(x,t)&=\sin(kx-\omega t)=\Im\left(e^{\underline{i}(kx-\omega t)}\right)\\&=\Im\left(e^{\underline{i}kx}\cdot e^{-\underline{i}\omega t}\right)\,.\end{aligned}

Der blaue Zeiger in Abb. 11 dreht sich entlang der x-Koordinate wie gewohnt gegen den Uhrzeigersinn. Der rote Zeiger, der der Zeit entspricht, dreht sich wegen des Minus allerdings im Uhrzeigersinn.

Abb. 11: Die rotierenden Zeiger, die Abb. 9 erzeugen. Der rote Zeiger dreht sich entlang der Zeit-Achse jetzt im Uhrzeigersinn. \lambda = 2.5\,\text{m}, T = 2 s.

In 2D bzw. 3D können wir das Produkt kx wieder durch das Skalarprodukt \boldsymbol{k\cdot r} ersetzen. Inklusive komplexer Amplitude \underline{A} haben wir dann

\displaystyle s(\boldsymbol{r}, t)=\Im\left(\underline{A}\cdot e^{\underline{i}(\boldsymbol{k\cdot r}-\omega t)}\right) .

Da rotieren also 2 bzw. 3 räumliche und ein zeitlicher Zeiger, deren Produkt den Gesamtzeiger ergibt, der schließlich projiziert wird. Um das darzustellen, bräuchte ich vier bzw. fünf Dimensionen …

Für 2D Wellen funktioniert allerdings noch die Animation in Abb. 12. Weil wir senkrecht zur Ausbreitungsrichtung e (bzw. k) nichts ändern, heißt so eine Welle eine ebene Welle.

Abb. 12: Eine ebene Welle in 2D in Richtung e mit Periodendauer 2 s.

Dass wir die räumliche Komponenten positiv und die zeitliche negativ zählen, ist die »Ostküsten-Konvention«. Wir hätten es auch umgekehrt machen können, aber so scheint es mir logischer.

Stehende Wellen

Zum Abschluss noch kurz etwas zu stehenden Wellen. In Abb. 13 addieren wir eine nach rechts laufende Welle (rot) zu einer nach links laufenden (blau) gleicher Wellenlänge und Periodendauer. Die grüne Summe ändert sich zwar zeitlich, die Lage ihrer Nullstellen bzw. Maxima/Minima bleibt aber konstant.

Abb. 13: Eine stehende Welle (grün) ist die Überlagerung einer nach rechts (rot) und einer nach links (blau) laufenden Welle mit gleicher Wellenlänge. Die Periodendauer ist wieder 2 s.

Diskussion

Der Begriff »räumliche Schwingungen« ist eher eine Erfindung von mir, weil ich nirgendwo gefunden habe, wie die Dinge wirklich heißen. Schwingungen an sich werden normalerweise als zeitliche Abweichungen von einer Ruhelage definiert. Wellen sind Schwingungen, die sich im Raum ausbreiten. Aber selbst stehende Wellen schwingen zeitlich, wie der Vergleich von Abb. 13 mit Abb. 2 zeigt. Vielleicht weiß ja jemand eine bessere Bezeichnung.

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