Fourier-Reihen, Teil 5 – Schwebungen

In Teil 1 haben wir gesehen, dass die Addition von Sinussignalen unterschiedlicher Frequenzen wieder ein periodisches Signal ergibt, wenn alle Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz $f_1$ sind. Die Periodendauer des Summensignals ist dann $T = 1/f_1$ . In diesem Teil beschäftigen wir uns mit Frequenzen, die nicht mehr ganzzahlige Vielfache voneinander sind.

Nehmen wir an, wir addieren zwei Sinussignale der Frequenzen $f'$ und $f'' > f'$ :

$s(t) = \sin(\tau f' t) + \sin(\tau f'' t)$ .

Der Einfachheit halber setzen wir beide Amplituden gleich 1 und die Phasen gleich 0. Es gilt wieder $\tau = 2\pi$ .

Ganzzahliges Frequenzverhältnis

Zum Vergleich zeigt Abb. 1 nochmal den Fall, dass die größere Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der kleineren ist; konkret $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und $f'' = 9 f' = 4.5\,\text{Hz}$ . Das Summensignal sieht aus, als würde das schnellere Signal im Takt des langsameren nach oben bzw. unten verschoben werden.

9_fs — Abb. 1: Die Addition zweier Sinus-Schwingungen der Frequenzen $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und $f'' = 9f' = 4.5\,\text{Hz}$ (oben). Darunter ist das Amplitudenspektrum gezeigt.

Die Grundfrequenz ist $f_1 = f'$ und alle ganzzahligen Vielfachen davon könnten vorkommen. Tatsächlich sind alle Amplituden außer für $f' = f_1$ und $f'' = 9f_1$ gleich 0.

Rationales Frequenzverhältnis

Wie sieht es aus, wenn die Frequenzen $f'$ und $f''$ fast gleich sind? In diesem Fall kann die größere Frequenz kein ganzzahliges Vielfaches der kleineren sein. Sie kann aber ein rationales Vielfaches der kleineren sein:

$f'' = \dfrac{n}{m} \cdot f' = n \cdot \dfrac{f'}{m}$ ,

wobei n und m positive ganze Zahlen mit $n > m$ und $\text{ggT}(n,m) = 1$ sind (vollständig gekürzter Bruch).

Die Grundfrequenz

$f_1 = \dfrac{f'}{m}$

ist jetzt um den Faktor m kleiner als $f'$ . Die Frequenzen der Einzelsignale sind dann nämlich beide ganzzahlige Vielfache,

$f' = m \cdot f_1$ und $f'' = n \cdot f_1$ ,

der Grundfrequenz $f_1$ . Für die Periodendauer gilt

$T = \dfrac{1}{f_1} = \dfrac{m}{f'} = m \cdot \dfrac{1}{f'}$ .

Sie ist damit m-mal so lang wie die Periodendauer des langsameren Einzelsignals.

Beispiel 1

Bleiben wir weiter bei $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und nehmen den Fall

$f'' = 1.1 \cdot f' = \frac{11}{10} \cdot f' = 0.55\,\text{Hz}$ .

Das Summensignal in Abb. 2 sieht qualitativ anders aus als das Summensignal in Abb. 1. Wir haben zwar wieder eine schnelle Schwingung, aber deren Mittelwert ändert sich nicht. Stattdessen wird ihre Amplitude langsam kleiner und größer, was man als Schwebung bezeichnet.

Die Schwebung dauert allerdings länger als $1/f' = 1/0.5\,\text{Hz} = 2\,\text{s}$ . Wegen $m = 10$ ist die Periodendauer des Summensignals

$T = 10 \cdot 1/f' = 10 \cdot 2\,\text{s} = 20\,\text{s}$ .

11_10_fs — Abb. 2: Die Addition zweier Sinus-Schwingungen der Frequenzen $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und $f'' = 1.1f' = 0.55\,\text{Hz}$ (oben). Darunter ist das Amplitudenspektrum gezeigt.

Die Grundfrequenz beträgt $f_1 = f'/10 = 0.05\,\text{Hz}$ und daher ist der Frequenzabstand im Spektrum viel kleiner als im ganzzahligen Fall. Bis auf zwei sind aber wieder alle Amplituden gleich 0.

Beispiel 2

Wie sieht es aus, wenn wir $f''$ etwas vergrößern, z.B. auf

$f'' = 1.2 \cdot f' = \frac{12}{10} \cdot f' = 0.6\,\text{Hz}$ ?

Die Antwort gibt Abb. 3 und ist etwas überraschend. Durch diese kleine Änderung von $f''$ hat sich die Periodendauer auf $T = 10\,\text{s}$ halbiert. Warum? Der Bruch 12/10 ist nicht vollständig gekürzt, sondern gleich 6/5. Die Grundfrequenz $f_1$ ist daher 1/5 von $f'$ und die Periodendauer entsprechend $5 \cdot 2\,\text{s} = 10\,\text{s}$ . Gleichzeitig haben wir in derselben Zeit mehr »Bäuche«, also Bereiche, wo das Signal besonders groß wird.

12_10_fs — Abb. 3: Die Addition zweier Sinus-Schwingungen der Frequenzen $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und $f'' = 1.2f' = 0.6\,\text{Hz}$ (oben). Darunter ist das Amplitudenspektrum gezeigt.

Weil die Grundfrequenz auf $f_1 = 0.1\,\text{Hz}$ verdoppelt ist, ist auch der Abstand zwischen den möglichen Amplituden verdoppelt.

Beispiel 3

Machen wir die Frequenz $f''$ noch etwas größer, z.B.

$f'' = 1.3 \cdot f' = \frac{13}{10} \cdot f' = 0.65\,\text{Hz}$ .

Dieses Beispiel ist in Abb. 4 gezeigt. 13/10 lässt sich nicht weiter kürzen, weshalb die Grundfrequenz wieder $f_1 = 0.05\,\text{Hz}$ beträgt und die Periodendauer $T = 20\,\text{s}$ . Außerdem ist die Zahl der Bäuche wieder größer geworden. Während in den letzten beiden Beispielen jeder Bauch eine exakte Kopie des Nachbarn war, ist das hier nicht mehr der Fall.

13_10_fs — Abb. 4: Die Addition zweier Sinus-Schwingungen der Frequenzen $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und $f'' = 1.3f' = 0.65\,\text{Hz}$ (oben). Darunter ist das Amplitudenspektrum gezeigt.

Der Frequenzabstand im Spektrum ist wieder auf $0.05\,\text{Hz}$ gesunken.

Schwebungen als Amplitudenmodulation (AM)

In Teil 7 der komplexen Zahlen haben wir gesehen, dass

$\sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\cos\left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) \cdot \sin\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right)$

ist. Für unseren Fall heißt das

$\begin{aligned} s(t) &= \sin(\tau f' t) + \sin(\tau f'' t)\\ &= 2\cos\left(\tau \, \dfrac{f' - f''}{2} \, t\right) \cdot \sin\left(\tau \, \dfrac{f' + f''}{2} \, t\right)\\ &= 2\cos\left(\tau \, \dfrac{f'' - f'}{2} \, t\right) \cdot \sin\left(\tau \, \dfrac{f' + f''}{2} \, t\right) \, .\end{aligned}$

Die letzte Zeile gilt, weil $\cos(-\varphi) = \cos(\varphi)$ ist, und wir $f'' > f'$ angenommen haben.

Die rechte Seite kann man so auffassen, dass wir eine zeitabhängige Amplitude

$2\cos\left(\tau \, \dfrac{f'' - f'}{2} \, t\right)$

haben, die sich mit der halben Differenzfrequenz $(f'' - f') / 2$ ändert. Die Amplitude wird wie man sagt moduliert, deshalb Amplitudenmodulation (AM).

Wenn $f'' \approx f'$ ist, ändert sich die Amplitude sehr langsam. Dieser Faktor ist als blaue Kurve in den Abbildungen gezeichnet und wird Einhüllende genannt. Genauer gesagt, wird das Signal von dieser Funktion und ihrem Negativen eingehüllt (strichlierte blaue Kurven).

Für die Bäuche ist es egal, welches Vorzeichen die Amplitude hat. Die Frequenz der Bäuche ist daher das doppelte der Amplitudenfrequenz, also einfach die Differenzfrequenz $f'' - f'$ . Je größer diese Differenz ist, desto mehr Bäuche pro Zeiteinheit gibt es.

Das eigentliche Signal schwingt mit dem Mittelwert $(f' + f'')/2$ der beiden Frequenzen.

Übrigens, damit das Summensignal in jedem Bauch gleich aussieht, muss die Differenzfrequenz gleich der Grundfrequenz sein, also

$f'' - f' = \left(\dfrac{n}{m} - 1\right) f' = \dfrac{f'}{m}$

sein. Daraus folgt $n = m + 1$ , was für die Frequenzverhältnisse 11/10 und 12/10 = 6/5 erfüllt war, aber nicht für 13/10.

Schwebungen kann man hören

Wie schon in Teil 2 angedeutet, kann das menschliche Gehör Frequenzen einzelner Töne bestimmen. Wenn die aber zu knapp beisammen sind, funktioniert das nicht mehr so ganz. Bei einer Schwebung hören wir also einen Ton mittlerer Frequenz, der mit der Differenzfrequenz $f'' - f'$ lauter bzw. leiser wird.

Mit Hilfe zweier leicht verstimmter Stimmgabeln oder von zwei Tongeneratoren (z.B. http://www.szynalski.com/tone-generator/) kann man das schön hörbar machen.

Im ersten Beispiel ist zunächst für ca. 5 s ein Ton mit $f' = 440\,\text{Hz}$ zu hören, dann ca. 5 s lang ein Ton der Frequenz $f'' = 441\,\text{Hz}$ . Zum Schluss hört man beide Töne gemeinsam – oder eher nicht, sondern einen Mischton, der lauter und leiser wird. (Frequenzverhältnis $441/440 = 1.002\overline{27}$ .)

Weil $441\,\text{Hz} - 440\,\text{Hz} = 1\,\text{Hz}$ ist, ist die Zeitspanne von laut zu laut gleich $1/1\,\text{Hz} = 1\,\text{s}$ .

Im zweiten Beispiel wird $f''$ auf $442\,\text{Hz}$ erhöht. Die Differenzfrequenz sind daher $2\,\text{Hz}$ und die Zeitspanne von laut zu laut ist nur noch $0.5\,\text{s}$ . (Frequenzverhältnis $442/440 = 1.00\overline{45}$ .)

Wenn das Frequenzverhältnis viel größer als 1 ist (z.B. 9/2 = 4.5), bekommt man ein Ergebnis wie in Abb. 5, die sehr ähnlich zum ganzzahligen Verhältnis aus Abb. 1 ist. Die »Einhüllende« gibt es hier natürlich auch, aber man sieht nicht wirklich, dass etwas eingehüllt wird.

9_2_fs — Abb. 5: Die Addition zweier Sinus-Schwingungen der Frequenzen $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und $f'' = 4.5f' = 2.25\,\text{Hz}$ (oben). Darunter ist das Amplitudenspektrum gezeigt.

Im Tonbeispiel wird die zweite Frequenz jetzt auf $4.5 \cdot 440\,\text{Hz} = 1980\,\text{Hz}$ erhöht. Hier hört man jetzt deutlich zwei verschiedene Töne, deren Lautstärke sich nicht ändert.

Irrationales Frequenzverhältnis

Zum Abschluss bleibt noch der Fall, dass das Frequenzverhältnis $f''/f'$ eine irrationale Zahl ist. Irrationale Zahlen sind kein Bruch ganzer Zahlen, aber sie lassen sich durch solche Brüche beliebig genau annähern. Z.B. ist

$\dfrac{\tau}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \approx \dfrac{142}{113} = 1.256\,637\,\ldots$

auf 6 Nachkommastellen genau. (Warum gerade $\tau/5$ ? Um einen ähnlichen Faktor wie in Abb. 3 bzw. 4 zu erhalten.) Eine weitere Näherung wäre z.B.

$\dfrac{\tau}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \approx \dfrac{1\,250\,614}{995\,207} =1.256\,637\,061\,435\,\ldots$

auf 12 Nachkommastellen genau. Je genauer wir diese irrationale Zahl durch eine rationale Zahl annähern wollen, desto größer müssen der Zähler n und insbesondere der Nenner m werden.

Nun ist aber die Periodendauer $T = m / f'$ . Weil $f'$ konstant ist, wird die Periodendauer immer länger, je näher wir an $\tau/5$ heran kommen. Wenn wir also tatsächlich ein irrationales Frequenzverhältnis haben, wird die Periodendauer unendlich lang – wir haben also kein periodisches Signal mehr (s. Abb. 6). Die periodischen Bäuche – sprich die Einhüllende – sind natürlich noch da, aber das Summensignal selber, die grüne Kurve, wiederholt sich niemals exakt.

2pi_5_fs — Abb. 6: Die Addition zweier Sinus-Schwingungen der Frequenzen $f' = 0.5\,\text{Hz}$ und $f'' = \tau/5 \cdot f' = 0.628\!\ldots\,\text{Hz}$ (oben). Darunter ist das Amplitudenspektrum gezeigt.

Das zeigt sich auch im Frequenzspektrum. In den bisherigen Beispielen hatten wir unendlich viele mögliche Frequenzen mit dem Frequenzabstand $f_1 = f'/m = 1/T$ . Dieser Abstand wird jetzt aber 0. Jede beliebige positive reelle Frequenz kann vorkommen, auch wenn immer nur noch zwei Amplituden ungleich 0 sind.

Die einfache Summe

$s(t) = \sin(\tau \cdot 0.5\,\text{Hz} \cdot t) + \sin(\tau \cdot \frac{\tau}{5} \cdot 0.5\,\text{Hz} \cdot t)$

kann daher keine Fourier-Reihe sein. Wie wir noch sehen werden, müssen wir in so einem Fall von einer Summe zu einem Integral übergehen – der Fourier-Transformation.

Summe von 3 oder mehr Sinussen

Was passiert, wenn wir 3 Frequenzen $f''' > f'' > f'$ haben, mit

$f'' = \dfrac{n}{m} \cdot f'$ und $f''' = \dfrac{k}{\ell} \cdot f'$ ?

Zuerst müssen wir die Brüche auf denselben Nenner bringen, brauchen also das $\text{kgV}(m, \ell)$ . Weil das ein Vielfaches von $m$ und $\ell$ ist, können wir ganze Zahlen $\tilde{m}$ und $\tilde{\ell}$ finden mit