Computertomographie (CT), Teil 5

Der diskrete Charme der Pixel

Wie schon gesagt, muss man für die Rückprojektion der Schattenbilder ein Pixel-Gitter über die reale physikalische Szene legen (s. Abb. 1). Man spricht dabei von Rasterung. Nachdem es sich um eine kreisförmige Szene mit Radius $r$ handelt, ist das Gitter sinnvollerweise quadratisch, und die Anzahl der Pixel in $x$ – und $y$ -Richtung wird gleich gewählt, also $n_x = n_y = n$ . Die Pixel sind dann Quadrate mit einer realen Seitenlänge von $s = 2 r / n$ . Um die Formeln etwas zu vereinfachen wählen wir für $n$ eine gerade Zahl, was keine große Einschränkung bedeutet.

Gitter1 — Abb. 1: Das kreisförmige Gebiet mit Radius $r$ wird mit einem (8×8)-Pixelgitter überdeckt. Der Ursprung des Pixel-Koordinatensystems befindet sich links oben. Die $i$ -Achse zeigt wie die $x$ -Achse nach rechts, die $j$ -Achse zeigt entgegen der $y$ -Achse nach unten.

Abb. 1: Das kreisförmige Gebiet mit Radius $r$ wird mit einem (8×8)-Pixelgitter überdeckt. Der Ursprung des Pixel-Koordinatensystems befindet sich links oben. Die $i$ -Achse zeigt wie die $x$ -Achse nach rechts, die $j$ -Achse zeigt entgegen der $y$ -Achse nach unten.

reale Punkte zu Pixeln

Der Ursprung des Pixel-Koordinatensystem liegt bei $(-r|r)$ , während der Ursprung des »realen« Koordinatensystems im Drehpunkt $O$ ist. Außerdem zeigt aus historischen Gründen die $j$ -Achse üblicherweise der $y$ -Achse entgegen, während die $i$ -Achse in dieselbe Richtung wie die $x$ -Achse zeigt.

Wie kann man die Koordinaten eines realen Punktes $P(P_x|P_y)$ in Pixel-Koordinaten $(P_i|P_j)$ umrechnen?

Zunächst muss man zu $P_x$ den Radius $r$ addieren, weil der Ursprung $O$ , auf den sich $P_x$ bezieht, die Strecke $r$ rechts vom Pixelursprung liegt. Diese Zahl dividiert man dann durch die Pixelbreite $s$ . Weil die Pixel-Koordinaten nur ganze Zahlen sein können, muss man zuletzt die größte ganze Zahl nehmen, die kleiner oder gleich $(P_x + r) / s$ ist, nämlich

$\displaystyle\left\lfloor\frac{P_x+r}{s}\right\rfloor\,.$

Viele Programmiersprachen stellen zur Berechnung von $\lfloor x\rfloor$ die Funktion floor(x) zur Verfügung.

Weil die $j$ -Achse entgegen die $y$ -Achse zeigt, muss man für die Umrechnung der $y$ -Koordinate nun $P_x$ durch $-P_y$ ersetzt. Berücksichtigt man noch, dass $r / s = n / 2$ eine ganze Zahl ist, erhält man insgesamt

$\displaystyle(P_i|P_j) = \left(\left\lfloor\frac{P_x}{s}\right\rfloor + \frac{n}{2}\middle|\left\lfloor-\frac{P_y}{s}\right\rfloor + \frac{n}{2}\right)\,.$

Nehmen wir an, der Durchmesser unseres CTs ist $2r = 10\,\text{cm}$ . Legen wir ein (16×16)-Pixelgitter über diesen Kreis, hat jedes Pixel eine Breite von $s = \frac{10}{16}\,\text{cm} = 0.625\,\text{cm}$ . Betrachten wir den Punkt $A(-0.52r|0.7r) = A(-2.6\,\text{cm}|3.5\,\text{cm})$ . Dividieren wir seine $x$ -Koordinate durch $s$ , erhalten wir $-2.6/0.625 = -4.16$ . Die größte ganze Zahl kleiner oder gleich diesem Wert ist $-5$ . Dazu müssen wir noch $n / 2 = 8$ addieren und erhalten schlussendlich die $i$ -Koordinate $3$ . Für die $j$ -Koordinate gehen wir ähnlich vor: $-3.5/0.625 = -5.6$ , die größte ganze Zahl kleiner oder gleich dieser Wert ist $-6$ ; plus $n/2 = 8$ macht insgesamt $2$ .

In der Mitte von Abb. 2 sieht man das entsprechende Pixel eingefärbt. Dabei ist zu beachten, dass die linke Pixelspalte die $i$ -Koordinate $0$ und die oberste Pixelzeile die $j$ -Koordinate $0$ haben.

Weiters vergleicht Abb. 2 die Punkte $A(-0.52r|0.7r)$ , $B(0.27r|0.3r)$ , $C(-0.3r|{-0.52r})$ und $D(0.6r|{-0.48r})$ als Pixel in verschieden hoch auflösenden Gittern. Man sieht, dass die Punkte nicht genau im Zentrum der Pixel liegen müssen, sondern irgendwo innerhalb sein können.