Wozu Mittelwerte?

Angenommen, man hat eine Messgröße, die man durch eine Zufallsvariable X modellieren kann. Der Erwartungswert von X sei \mu und die Standardabweichung sei \sigma.

Misst man diese Messgröße mehrfach, wird man voraussichtlich verschiedene Werte erhalten, deren Streuung durch die Verteilung von X modelliert wird.

Berechnet man den Mittelwert \bar{x} dieser n Messungen, kann man ihn durch die Zufallsvariable \overline{X} modellieren. Wenn die Messungen alle voneinander unabhängig waren, gilt für den Erwartungswert des Mittelwertes

\mathscr{E}(\overline{X}) = \mathscr{E}(X) = \mu

und für die Standardabweichung (»Standardfehler«) des Mittelwertes

\displaystyle\mathscr{S}(\overline{X}) = \frac{\mathscr{S}(X)}{\sqrt{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,.

Diese Formeln gelten unabhängig von der konkreten Verteilung von X; die zweite wird oft auch als »Wurzel-n-Gesetz« bezeichnet.

Wenn man mehrfach den Mittelwert aus n Messungen bildet, streuen diese Werte um den Faktor 1/\sqrt{n} weniger um \mu als die Einzelmessungen.

Als konkretes Beispiel betrachten wir die Füllmenge X von Flaschen, die normalverteilt sein soll: X \sim \text{NV}(\mu = 750\,\text{mL}, \sigma = 2\,\text{mL}). Für diesen Fall gilt exakt, dass auch der Mittelwert normalverteilt ist: \overline{X} \sim \text{NV}(\mu = 750\,\text{mL}, \frac{2\,\text{mL}}{\sqrt{n}}).

Mittelwert_wozu
Misst man die Füllmenge einzelner Flaschen, werden knapp 4 von 10 einen Wert im Intervall [749\,\text{mL};751\,\text{mL}] haben (links). Nimmt man den Mittelwert der Füllmengen von jeweils 10 Flaschen, werden knapp 9 von 10 dieser Mittelwerte im Intervall [749\,\text{mL};751\,\text{mL}] liegen.
Wenn man nicht weiß, dass \mu = 750\,\text{mL} ist, kann man die Füllmenge einer Flasche messen. Mit 38.3% Wahrscheinlichkeit wird dieser Wert nicht mehr als 1\,\text{mL} von \mu abweichen. Nimmt man den Mittelwert der Füllmengen von 10 Flaschen, erhöht sich diese Wahrscheinlichkeit auf 88.6%.

Durch die Mittelwertbildung kommt man also wahrscheinlich »viel näher« an (das unbekannte) \mu heran, als durch eine Einzelmessung.